Екстремне вредности и превојне тачке функција 2

Монотоност и екстремне вредности функција. Конвексност, конкавност и превојне тачке функција. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.3) Одредити монотоност, екстремне вредности, конвексност и

превојне тачке функције $y = \frac{{4x - {x^2} - 4}}{{x - 1}}$ .

Пр.4) Испитати ток функције $y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}$ .

Пр.3) $y = \frac{{4x - {x^2} - 4}}{{x - 1}}$

$Df:x - 1 \ne 0$

$x \ne 1$

$Df:\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

$y' = \frac{{{{\left( {4x - {x^2} - 4} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^\prime }\left( {4x - {x^2} - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {4 - 2x} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {4x - {x^2} - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} =$

$= \frac{{4x - 4 - 2{x^2} + 2x - 4x + {x^2} + 4}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$\frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - {x^2} + 2x = 0}&{}& \wedge &{}& {{{\left( {x - 1} \right)}^2} \ne 0} \\ {x\left( { - x + 2} \right) = 0}&{}&{}&{x \ne 1} \\ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = 0}& \vee &{}&{ - x + 2 = 0} \\ {}&{}&{}&{x = 2} \end{array}}&{}&{}&{} \end{array}$

457 png

${T_{\min }}\left( {0;4} \right)$

${T_{\max }}\left( {2;0} \right)$

$y'' = \frac{{{{\left( { - {x^2} + 2x} \right)}^\prime }{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right)}^\prime }\left( { - {x^2} + 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( { - {x^2} + 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} =$

$= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\left( { - {x^2} + 2x} \right)} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 2x + 2x - 2 + 2{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}$

$\begin{aligned}&\frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = 0 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 2 \ne 0}&{}&{}&{{{\left( {x - 1} \right)}^3} \ne 0} \\ {}&{}&{}&{x \ne 1} \end{array}\end{aligned}$

458 png

$1 \notin Df \Rightarrow$ нема превојне тачке

Пр.4) $y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}$

$y' = {\left( {x - 1} \right)^\prime }{e^{2x}} + \left( {x - 1} \right){\left( {{e^{2x}}} \right)^\prime } = {e^{2x}} + \left( {x - 1} \right) \cdot {e^{2x}}{\left( {2x} \right)^\prime } =$

$= {e^{2x}} + 2\left( {x - 1} \right) \cdot {e^{2x}} = {e^{2x}} \cdot \left( {1 + 2x - 2} \right) = {e^{2x}} \cdot \left( {2x - 1} \right)$

459 png

${T_{\min }}\left( {\frac{1}{2}; - \frac{e}{2}} \right)$

$y'' = {\left( {2x - 1} \right)^\prime } \cdot {e^{2x}} + {\left( {{e^{2x}}} \right)^\prime } \cdot \left( {2x - 1} \right) = {e^{2x}} \cdot 2 + {e^{2x}} \cdot 2 \cdot \left( {2x - 1} \right) =$

$= {e^{2x}}\left( {2 + 4x - 2} \right) = 4x \cdot {e^{2x}}$

$4x \cdot {e^{2x}} = 0$

$x = 0$

460 png

$P\left( {0; - 1} \right)$

Испитивање увек почиње доменом. Тачке у којима функција није дефинисана деле бројевну праву, па се знак извода испитује на сваком делу засебно. Екстремуми су локални: код $y = \frac{4x - x^2 - 4}{x - 1}$ минимум $(0, 4)$ лежи изнад максимума $(2, 0)$ , јер их раздваја вертикална асимптота $x = 1$ . Ако $f''$ мења знак само у тачки ван домена, превојне тачке нема. Код производа полинома и експоненцијалне функције, као $y = (x - 1)e^{2x}$ , извод има облик $e^{2x}(2x - 1)$ . Пошто је $e^{2x} > 0$ , знак извода одређује само полином у загради. Зато је минимум у $x = \frac{1}{2}$ , а превојна тачка је $(0, -1)$ , где $y'' = 4xe^{2x}$ мења знак.

Недеља2

Продаја s(t): 134
s′(t): 40,2
s″(t): −21,45

Тангента је водоравна у петој недељи, кад је продаја највећа. Најстрмије пада у десетој недељи, где

s''

мења знак, а после тога се пад успорава.

Трговци прате продају новог производа која прво расте, па опада: максимум показује када је интересовање највеће, а превојна тачка када продаја најбрже пада, што помаже да се на време наруче залихе и покрене реклама.

Продаја нове друштвене игре

Ланац књижара почиње да продаје нову друштвену игру. У упрошћеном моделу у $t$ -тој недељи прода се $s(t) = 100t \cdot e^{-0{,}2t}$ примерака. Када је недељна продаја највећа и колико износи? Када продаја најбрже опада?

Решење

По правилу производа: $s'(t) = 100e^{-0{,}2t} - 20te^{-0{,}2t} = 20e^{-0{,}2t}(5 - t)$ .
Пошто је $e^{-0{,}2t} > 0$ , знак зависи само од $5 - t$ : продаја расте до $t = 5$ , а затим опада. Максимум је $s(5) = 500e^{-1} \approx 184$ примерка.
$s''(t) = -4e^{-0{,}2t}(5 - t) - 20e^{-0{,}2t} = 4e^{-0{,}2t}(t - 10)$ , што мења знак у $t = 10$ .
У превојној тачки продаја опада најбрже: $s(10) = 1000e^{-2} \approx 135$ примерака, а $s'(10) = -100e^{-2} \approx -13{,}5$ примерака по недељи.

Одговор: Продаја је највећа у петој недељи, око 184 примерка, а најбрже опада у десетој недељи, кад се прода око 135 примерака.

Задатак за вежбу

Одредите екстремне вредности и интервале конвексности функције $y = \frac{x^2 + 4}{x}$ .

Прикажи решење

$y' = \frac{x^2 - 4}{x^2}$ , па је максимум $(-2, -4)$ , а минимум $(2, 4)$ . Из $y'' = \frac{8}{x^3}$ следи да је функција конкавна за $x < 0$ и конвексна за $x > 0$ ; превојне тачке нема, јер 0 није у домену.