Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – граничне вредности функција 2

Гранична вредност функције. Неодређеност бесконачно кроз бесконачно, једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Одредити граничне вредности:

пр.6)   lim⁡x→∞7x3−2x+33x3+2\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{7{x^3} - 2x + 3}}{{3{x^3} + 2}}

пр.7)   lim⁡x→∞2x2−x+15x+3\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{5x + 3}}

пр.8)   lim⁡x→∞5x2−1x2(7x+3)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{x^2} - 1}}{{{x^2}(7x+3)}}

пр.6)  

lim⁡x→∞7x3−2x+33x3+2⋅x3x3=lim⁡x→∞7x3−2x+3x33x3+2x3=lim⁡x→∞7x3x3−2xx3+3x33x3x3+2x3==lim⁡x→∞7−2x2+3x33+2x3=7−0−03+0=73\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{7{x^3} - 2x + 3}}{{3{x^3} + 2}} \cdot \frac{{{x^3}}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{7{x^3} - 2x + 3}}{{{x^3}}}}}{{\frac{{3{x^3} + 2}}{{{x^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{7{x^3}}}{{{x^3}}} - \frac{{2x}}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^3}}}}}{{\frac{{3{x^3}}}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^3}}}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{7 - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}}}{{3 + \frac{2}{{{x^3}}}}} = \frac{{7 - 0 - 0}}{{3 + 0}} = \frac{7}{3}\end{aligned}

пр.7)

lim⁡x→∞2x2−x+15x+3=lim⁡x→∞2x2−x+15x+3⋅x2x2==lim⁡x→∞2x2x2−xx2+1x25xx2+3x2=lim⁡x→∞2−1x+1x25x+3x2=2−0+00+0=20=∞\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{5x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{5x + 3}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{2{x^2}}}{{{x^2}}} - \frac{x}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{{5x}}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = \frac{{2 - 0 + 0}}{{0 + 0}} = \frac{2}{0} = \infty\end{aligned}

пр.8)   

lim⁡x→∞5x2−1x2(7x+3)⋅x3x3=lim⁡x→∞5x2−1x3x2(7x+3)x3=lim⁡x→∞5x2x3−1x37x3x3+3x2x3==lim⁡x→∞5x−1x37+3x=0−07+0=07=0\begin{aligned}&\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{x^2} - 1}}{{{x^2}(7x + 3)}} \cdot \frac{{{x^3}}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{5{x^2} - 1}}{{{x^3}}}}}{{\frac{{{x^2}(7x + 3)}}{{{x^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{5{x^2}}}{{{x^3}}} - \frac{1}{{{x^3}}}}}{{\frac{{7{x^3}}}{{{x^3}}} + \frac{{3{x^2}}}{{{x^3}}}}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{5}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}}}{{7 + \frac{3}{x}}} = \frac{{0 - 0}}{{7 + 0}} = \frac{0}{7} = 0\end{aligned}

Кад x→∞x \to \infty, количник два полинома даје неодређеност ∞∞\frac{\infty}{\infty}. Решава се тако што бројилац и именилац поделите највећим степеном xx из имениоца: сви чланови облика cxk\frac{c}{x^k} тада теже нули.

Резултат зависи од степена. Ако су степени бројиоца и имениоца једнаки, лимес је количник водећих коефицијената: lim⁡x→∞7x3−2x+33x3+2=73\lim_{x \to \infty}\frac{7x^3 - 2x + 3}{3x^3 + 2} = \frac{7}{3}. Ако је степен бројиоца већи, лимес је бесконачан, а ако је мањи, лимес је нула. Ово правило је и брза провера резултата. Честа грешка је дељење различитим степенима у бројиоцу и имениоцу или проглашавање 20\frac{2}{0} нулом уместо бесконачношћу.

2004006008000,50,60,70,80,9xp(x)p(x)P
0,8
200
Проценат погодака
76%
Гранична вредност
80%
Испрекидана права је гранична вредност rr, део бацања које кошаркашица од сада погађа. Превуците тачку удесно: што је више нових бацања, проценат је ближи броју rr, а почетних 30 од 50 све мање утиче.

Статистичари и спортски аналитичари граничном вредношћу процењују на шта ће се дугорочно свести проценат, просек или концентрација кад се стари подаци „разблаже“ великим бројем нових.

Проценат слободних бацања

Кошаркашица је у сезони погодила 30 од 50 слободних бацања. Од сада погађа 4 од сваких 5 бацања, па ће после још xx бацања њен проценат погодака бити p(x)=30+0,8x50+xp(x) = \frac{30 + 0{,}8x}{50 + x}. Ком броју тежи p(x)p(x) кад x→∞x \to \infty? Колики је проценат после још 200 бацања?

Решење

  1. Кад x→∞x \to \infty, и бројилац и именилац неограничено расту: неодређеност ∞∞\frac{\infty}{\infty}.
  2. Делимо бројилац и именилац са xx: p(x)=30x+0,850x+1p(x) = \frac{\frac{30}{x} + 0{,}8}{\frac{50}{x} + 1}.
  3. Пошто 30x→0\frac{30}{x} \to 0 и 50x→0\frac{50}{x} \to 0, добијамо lim⁡x→∞p(x)=0+0,80+1=0,8\lim_{x \to \infty} p(x) = \frac{0 + 0{,}8}{0 + 1} = 0{,}8.
  4. После још 200 бацања: p(200)=30+160250=0,76p(200) = \frac{30 + 160}{250} = 0{,}76.

Одговор: Проценат тежи ка 80%, а после још 200 бацања износи 76%: почетних 60% се временом потпуно разблажи.

Задатак за вежбу

Израчунајте lim⁡x→∞4x2−3x2x2+5\lim_{x \to \infty}\frac{4x^2 - 3x}{2x^2 + 5} и lim⁡x→∞x+1x2+3\lim_{x \to \infty}\frac{x + 1}{x^2 + 3}.

Прикажи решење

Дељењем са x2x^2: 4−3x2+5x2→2\frac{4 - \frac{3}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}} \to 2 и 1x+1x21+3x2→0\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \to 0.