Текст задатака објашњених у видео лекцији:
Пр.1) Испитати функцију f(x)=xx2−1.
Пр.1)
1. Домен функције Df: x2−1≠0
(x−1)(x+1)≠0x−1≠0∧x+1≠0x≠1x≠−1
Df:R∖{−1;1}
2. Нуле функције
f(x)=0
xx2−1=0
x=0
A(0;0)
3. Пресек са y-осом
x=0;y=0
A(0;0)
4. Знак функције
xx2−1=0
x=0;x≠±1
y>0 x∈(−1;0)∪(1;+∞)
y<0 x∈(−∞;−1)∪(0;1)
5. Парност
f(x)=xx2−1
f(−x)=−x(−x)2−1=−xx2−1=−f(x) непарна функција
6. Асимптоте
В.А.
lim
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( { - {1^ + }} \right)}^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{1^ - } - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{0^ - }}} = + \infty
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {{1^ - }} \right)}^2} - 1}} = \frac{1}{{{1^ - } - 1}} = \frac{1}{{{0^ - }}} = - \infty
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {{1^ + }} \right)}^2} - 1}} = \frac{1}{{{1^ + } - 1}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty
Х.А.
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x:{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 1} \right):{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{x}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{1}{{1 - 0}} = \frac{0}{1} = 0
хоризонтална асимптота је y = 0
7. Монотоност и екстремне вредности
f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}
f'\left( x \right) = \frac{{x'\left( {{x^2} - 1} \right) - x{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 1 - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}
\frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = 0
x \ne \pm 1
8. Конвексност и превојне тачке
f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}
f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}
f''\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - {x^2} - 1} \right)}^\prime }{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - {{\left( {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}} \right)}^\prime }\left( { - {x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = \frac{{ - 2x{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot 2x\left( { - {x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} =
= \frac{{ - 2x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 1 + 2\left( { - {x^2} - 1} \right)} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = \frac{{ - 2x\left( {{x^2} - 1 + 2\left( { - {x^2} - 1} \right)} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}} = \frac{{2x\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}}
\frac{{2x\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}} = 0
x = 0;x \ne \pm 1
превојна тачка је P\left( {0;0} \right)
9. График функције
