Функције – извод функције 2

Извод функције по дефиницији. Сложенији примери.

Задаци

Текстови задатака објашњених у видео лекцији.

По дефиницији одредити изводе функција:

пр.4) $f(x) = \sqrt {4x - 1}$

пр.5) $f(x) = {e^x}$

пр.6) $f(x) = \ln x$

пр.4) $f(x) = \sqrt {4x - 1}$

$f'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right){\text{ - }}f\left( x \right){\text{ }}}}{{\Delta x}}$

$f\left( {x + \Delta x} \right) = \sqrt {4\left( {x + \Delta x} \right) - 1}$

$f'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right){\text{ - }}f\left( x \right){\text{ }}}}{{\Delta x}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {4\left( {x + \Delta x} \right) - 1} - \sqrt {4x - 1} }}{{\Delta x}} \cdot \frac{{\sqrt {4\left( {x + \Delta x} \right) - 1} + \sqrt {4x - 1} }}{{\sqrt {4\left( {x + \Delta x} \right) - 1} + \sqrt {4x - 1} }} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\sqrt {4\left( {x + \Delta x} \right) - 1} }^2} - {{\sqrt {4x - 1} }^2}}}{{\Delta x\left( {\sqrt {4\left( {x + \Delta x} \right) - 1} + \sqrt {4x - 1} } \right)}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{4x + 4\Delta x - 1 - 4x + 1}}{{\Delta x\left( {\sqrt {4\left( {x + \Delta x} \right) - 1} + \sqrt {4x - 1} } \right)}} = \frac{4}{{\sqrt {4x - 1} + \sqrt {4x - 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} }}$

пр.5) $f(x) = {e^x}$

$f\left( {x + \Delta x} \right) = {e^{x + \Delta x}} = {e^x} \cdot {e^{\Delta x}}$

$f'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right){\text{ - }}f\left( x \right){\text{ }}}}{{\Delta x}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{x + \Delta x}} - {e^x}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^x} \cdot {e^{\Delta x}} - {e^x}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^x}\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {{e^x}\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}} = 1$

пр.6) $f(x) = \ln x$

$f\left( {x + \Delta x} \right) = \ln \left( {x + \Delta x} \right)$

$f'\left( x \right){\text{ }} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right){\text{ - }}f\left( x \right){\text{ }}}}{{\Delta x}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {x + \Delta x} \right) - \ln x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {\frac{{x + \Delta x}}{x}} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}}{{\Delta x}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{x} \cdot x}} = \frac{1}{x}$

Изводи корена, експоненцијалне и логаритамске функције по дефиницији траже по један трик. Код корена, на пример $\sqrt{4x - 1}$ , количник прираштаја помножите и поделите збиром два корена. Разлика квадрата тада уклања корене из бројиоца, $\Delta x$ се скрати и добија се $\frac{2}{\sqrt{4x - 1}}$ . Код експоненцијалне функције издвојите $e^x$ испред граничне вредности и користите $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ , па је $(e^x)' = e^x$ . Код логаритма разлику $\ln(x + \Delta x) - \ln x$ запишите као $\ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)$ и користите $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1 + u)}{u} = 1$ , па је $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ .

Пазите на домен: $\sqrt{4x - 1}$ има извод само за $x > \frac{1}{4}$ , а $\ln x$ само за позитивно $x$ .

Висина20 m

Видик d(h): 16 km
Нагиб тангенте d′(h): 0,4 km/m
6,4 / √(12,8h): 0,4 km/m

Нагиб тангенте је

d'(h) = \frac{6{,}4}{\sqrt{12{,}8h}}

. На 20 m износи 0,4 km по метру, а што сте више, сваки нови метар доноси све мање видика.

Формула за даљину хоризонта користи се у навигацији и при постављању антена и осматрачница, а њен извод показује колико даље видите кад се попнете метар више.

Поглед са осматрачнице

Са висине од $h$ метара види се до хоризонта удаљеног приближно $d(h) = \sqrt{12{,}8h}$ километара, ако нема препрека. Ватрогасна осматрачница усред равнице висока је 20 m. По дефиницији извода одредите $d'(h)$ и израчунајте колико километара видика доноси сваки метар висине на 20 m.

Решење

Количник прираштаја је $\frac{\sqrt{12{,}8(h + \Delta h)} - \sqrt{12{,}8h}}{\Delta h}$ . Помножимо бројилац и именилац збиром $\sqrt{12{,}8(h + \Delta h)} + \sqrt{12{,}8h}$ .
У бројиоцу остаје разлика квадрата $12{,}8(h + \Delta h) - 12{,}8h = 12{,}8\Delta h$ , па се $\Delta h$ скрати: $\frac{12{,}8}{\sqrt{12{,}8(h + \Delta h)} + \sqrt{12{,}8h}}$ .
Кад $\Delta h \to 0$ , оба корена теже ка $\sqrt{12{,}8h}$ , па је $d'(h) = \frac{12{,}8}{2\sqrt{12{,}8h}} = \frac{6{,}4}{\sqrt{12{,}8h}}$ .
За $h = 20$ је $\sqrt{12{,}8 \cdot 20} = \sqrt{256} = 16$ , па је $d(20) = 16$ km и $d'(20) = \frac{6{,}4}{16} = 0{,}4$ .

Одговор: Са 20 m висине види се око 16 km далеко, а сваки додатни метар висине доноси приближно 0,4 km видика.

Задатак за вежбу

По дефиницији одредите извод функције $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ и израчунајте $f'(4)$ .

Прикажи решење

Множењем збиром корена количник постаје $\frac{2}{\sqrt{2(x + \Delta x) + 1} + \sqrt{2x + 1}}$ , што тежи ка $\frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ . Дакле $f'(4) = \frac{1}{3}$ .