Функције – извод имплицитне функције 1

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Одредити извод функције:

            $6{x^2} - 4y = 0$

Пр.2)   $2{x^2} - 3{y^2} + 6 = 0$

Пр.3)   $3{x^2} + xy - 2{y^2} + 7 = 0$

Пр.4)   ${e^x} + xy + {e^y} - 13 = 0$

Пр.6)   $\ln \left( {xy} \right) + {x^2} + {y^2} - 13 = 0$

Пр.1)  $6{x^2} - 4y = 0$

У имплицитном облику

$$\begin{aligned}&6{x^2} - 4y = 0 \\ &12x - 4y' = 0 \\ &4y' = 12x \\ &y' = 3x\end{aligned}$$

проверим: прво запишећемо у експлицитни облик и затим одредићемо извод функције

$$\begin{aligned}&4y = 6{x^2} \\ &y = \frac{3}{2}{x^2} \\ &y' = \frac{3}{2} \cdot 2x \\ &y' = 3x\end{aligned}$$

Пр.2)   $2{x^2} - 3{y^2} + 6 = 0$

$$\begin{aligned}&2{x^2} - 3{y^2} + 6 = 0 \\ &4x - 6y \cdot y' + 0 = 0 \\ &6y \cdot y' = 4x \\ &y' = \frac{{4x}}{{6y}} \\ &y' = \frac{{2x}}{{3y}}\end{aligned}$$

Пр.3)   $3{x^2} + xy - 2{y^2} + 7 = 0$

$$\begin{aligned}&3{x^2} + xy - 2{y^2} + 7 = 0 \\ &6x + 1y + xy' - 4yy' = 0 \\ &y'\left( {x - 4y} \right) = - 6x - y \\ &y' = \frac{{ - 6x - y}}{{x - 4y}} \\ &y' = \frac{{ - \left( {6x + y} \right)}}{{ - \left( {4y - x} \right)}} \\ &y' = \frac{{6x + y}}{{4y - x}}\end{aligned}$$

Пр.4)   ${e^x} + xy + {e^y} - 13 = 0$

$$\begin{aligned}&{e^x} + xy + {e^y} - 13 = 0 \\ &{e^x} + y + xy' + {e^y}y' = 0 \\ &y'\left( {x + {e^y}} \right) = - {e^x} - y \\ &y' = \frac{{ - {e^x} - y}}{{x + {e^y}}}\end{aligned}$$

Пр.6)   $\ln \left( {xy} \right) + {x^2} + {y^2} - 13 = 0$

$$\begin{aligned}&\ln \left( {xy} \right) + {x^2} + {y^2} - 13 = 0 \\ &\frac{1}{{xy}} \cdot \left( {y + xy'} \right) + 2x + 2yy' = 0 \\ &\frac{y}{{xy}} + \frac{{xy'}}{{xy}} + 2x + 2yy' = 0;x \ne 0,y \ne 0 \\ &\frac{1}{x} + \frac{{y'}}{y} + 2x + 2yy' = 0 \\ &y'\left( {\frac{1}{y} + 2y} \right) + \frac{1}{y} + 2x = 0 \\ &y' = - \frac{{\frac{1}{x} + 2x}}{{\frac{1}{y} + 2y}}\end{aligned}$$