Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Функције – примена извода 3

Примена извода. Угао између кривих.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.5)   Одредити угао под којим се секу криве x2+y2−4x=1{x^2} + {y^2} - 4x = 1

            и x2+y2−2y=9{x^2} + {y^2} - 2y = 9.

Пр.5)

x2+y2−4x=1∣⋅(−1)x2+y2−2y=9‾4x−2y=8∣:22x−y=4y=2x−4x2+(2x−4)2−4x=1x2+4x2−16x+16−4x=15x2−20x+15=0x2−4x+3=0x1/2=4±16−22=4±22x1=1x2=3y1=2−4y2=2⋅3−4y1=−2y2=2A(1;−2)B(3;2)t:y−y0=f′(x0)(x−x0)f1:x2+y2−4x=12x+2y⋅y′−4=02yy′=−2x+4y′=−2x+42y=f1(x)f1(x0)=−2⋅3+42⋅2=−12=k1f2:x2+y2−2y=92x+2y⋅y′−2y′=0y′(2y−2)=−2xy′=−2x2y−2=f2(x)f2(x0)=−2⋅32⋅2−2=−3=k2tgφ=∣k1−k21+k1k2∣=∣−12+31+(−12)⋅(−3)∣=∣5252∣=1φ=45∘\begin{aligned}&{x^2} + {y^2} - 4x = 1| \cdot \left( { - 1} \right) \\ &\underline {{x^2} + {y^2} - 2y = 9} \\ &4x - 2y = 8|:2 \\ &2x - y = 4 \\ &y = 2x - 4 \\ &{x^2} + {\left( {2x - 4} \right)^2} - 4x = 1 \\ &{x^2} + 4{x^2} - 16x + 16 - 4x = 1 \\ &5{x^2} - 20x + 15 = 0 \\ &{x^2} - 4x + 3 = 0 \\ &{x_{1/2}} = \frac{{4 \pm \sqrt {16 - 2} }}{2} = \frac{{4 \pm 2}}{2} \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} = 1}&{}&{}&{{x_2} = 3} \\ {{y_1} = 2 - 4}&{}&{}&{{y_2} = 2 \cdot 3 - 4} \\ {{y_1} = - 2}&{}&{}&{{y_2} = 2} \\ {A\left( {1; - 2} \right)}&{}&{}&{B\left( {3;2} \right)} \end{array} \\ & \\ &t:y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{f_1}:{x^2} + {y^2} - 4x = 1 \\ &2x + 2y \cdot y' - 4 = 0 \\ &2yy' = - 2x + 4 \\ &y' = \frac{{ - 2x + 4}}{{2y}} = {f_1}\left( x \right) \\ &{f_1}\left( {{x_0}} \right) = \frac{{ - 2 \cdot 3 + 4}}{{2 \cdot 2}} = - \frac{1}{2} = {k_1}\end{aligned} &{}&{}&\begin{aligned}&{f_2}:{x^2} + {y^2} - 2y = 9 \\ &2x + 2y \cdot y' - 2y' = 0 \\ &y'\left( {2y - 2} \right) = - 2x \\ &y' = \frac{{ - 2x}}{{2y - 2}} = {f_2}\left( x \right) \\ &{f_2}\left( {{x_0}} \right) = \frac{{ - 2 \cdot 3}}{{2 \cdot 2 - 2}} = - 3 = {k_2}\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &tg\varphi = \left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right| = \left| {\frac{{ - \frac{1}{2} + 3}}{{1 + \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot \left( { - 3} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{\frac{5}{2}}}{{\frac{5}{2}}}} \right| = 1 \\ &\varphi = {45^ \circ }\end{aligned}

Угао између кривих датих имплицитно, као што су кружнице, тражи се у три корака. Прво нађете пресечне тачке: кад од једне једначине кружнице одузмете другу, квадрати се потру и остаје линеарна једначина, коју решите заједно са једном од кружница. Затим у пресечној тачки имплицитним извођењем нађете нагибе тангенти: из x2+y2−4x=1x^2 + y^2 - 4x = 1 следи 2x+2yy′−4=02x + 2yy' - 4 = 0, тј. y′=2−xyy' = \frac{2 - x}{y}. На крају угао добијате из tg⁡φ=∣k1−k21+k1k2∣\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|.

Згодна провера: тангента кружнице нормална је на полупречник, па је оштар угао између тангенти једнак оштром углу између правих на којима леже полупречници повучени у пресечну тачку.

−3−2−11231230xy60°O₁O₂V
2 m
Висина врха
1,73 m
Угао између полупречника
60°
Угао између тангенти (оштар)
60°
Тангенте су нормалне на полупречнике, па се кружнице секу под истим оштрим углом као праве O1VO_1V и O2VO_2V. За r=2r = 2 m тај угао је 60∘60^\circ, а за r≈1,41r \approx 1{,}41 m кружнице се секу под правим углом.

Архитекте и каменоресци рачунају углове под којима се секу кружни лукови, на пример на врху готског лука или на споју два кружна дела ограде или стазе.

Врх готског прозора

Горњи део прозора у цркви је готски лук ширине 2 m, састављен од два кружна лука полупречника 2 m, чији су центри у доњим угловима лука. Ако је почетак координата на средини доње ивице, лукови леже на кружницама x2+y2+2x=3x^2 + y^2 + 2x = 3 и x2+y2−2x=3x^2 + y^2 - 2x = 3 (у метрима). Нађите врх лука и угао под којим се лукови у њему секу.

Решење

  1. Одузимањем једначина добијамо 4x=04x = 0, па је x=0x = 0 и y2=3y^2 = 3. Врх је тачка V(0,3)V(0, \sqrt{3}), на висини од око 1,73 m.
  2. Прва кружница: 2x+2yy′+2=02x + 2yy' + 2 = 0, па је y′=−x+1yy' = -\frac{x + 1}{y} и k1=−13k_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
  3. Друга кружница: 2x+2yy′−2=02x + 2yy' - 2 = 0, па је y′=1−xyy' = \frac{1 - x}{y} и k2=13k_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}.
  4. tg⁡φ=∣−231−13∣=3\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}}\right| = \sqrt{3}, па је φ=60∘\varphi = 60^\circ, а унутрашњи угао врха лука је 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.

Одговор: Врх лука је на висини од око 1,73 m, а лукови се у њему секу под углом од 60∘60^\circ, колики је угао између тангенти; унутрашњи угао врха лука је 120∘120^\circ.

Задатак за вежбу

Под којим углом се секу кружнице x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 и x2+y2−10x+5=0x^2 + y^2 - 10x + 5 = 0?

Прикажи решење

Заменом x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 у другу једначину добија се 30−10x=030 - 10x = 0, па је x=3x = 3 и y=±4y = \pm 4. У тачки (3,4)(3, 4) је k1=−xy=−34k_1 = -\frac{x}{y} = -\frac{3}{4} и k2=5−xy=12k_2 = \frac{5 - x}{y} = \frac{1}{2}, па је tg⁡φ=2\operatorname{tg}\varphi = 2 и φ≈63,43∘\varphi \approx 63{,}43^\circ.