Интеграција рационалних функција 1

Интеграли. Особине интеграла. Интеграција рационалних функција. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Решити $\int {\frac{{2x + 7}}{{{x^2} - x - 2}}}$

Пр.1) $\int {\frac{{2x + 7}}{{{x^2} - x - 2}}} =$

$\frac{{2x + 7}}{{{x^2} - x - 2}} = \frac{{2x + 7}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{A}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{A\left( {x - 2} \right) + B\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$\begin{aligned}&{x^2} - x - 2 = 0 \\ &{x_{1/2}} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 + 8} }}{2} = \frac{{1 \pm 3}}{2} \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} = - 1}&{}&{{x_2} = 2} \end{array}\end{aligned}$

$\frac{{2x + 7}}{{{x^2} - x - 2}} = \frac{{A\left( {x - 2} \right) + B\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$2x + 7 = A\left( {x - 2} \right) + B\left( {x + 1} \right) = Ax - 2A + Bx + B =$

$= \left( {A + B} \right)x + \left( { - 2A + B} \right)$

$\left\{ \begin{aligned}&A + B = 2/ \cdot \left( { - 1} \right) \\ &- 2A + B = 7\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&- 3A = 5 \\ &A + B = 2\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&A = - \frac{5}{3} \\ &- \frac{5}{3} + B = 2\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&A = - \frac{5}{3} \\ &B = \frac{{11}}{3}\end{aligned} \right.$

$\frac{{2x + 7}}{{{x^2} - x - 2}} = \frac{{ - \frac{5}{3}}}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{\frac{{11}}{3}}}{{\left( {x - 2} \right)}}$

$\int {\frac{{2x + 7}}{{{x^2} - x - 2}}dx} = \int {\frac{{ - \frac{5}{3}}}{{\left( {x + 1} \right)}}dx} + \int {\frac{{\frac{{11}}{3}}}{{\left( {x - 2} \right)}}dx} =$

$= - \frac{5}{3}\int {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)}}} + \frac{{11}}{3}\int {\frac{{dx}}{{\left( {x - 2} \right)}}} =$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&x + 1 = t \\ &dx = dt\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&x - 2 = s \\ &dx = ds\end{aligned} \end{array}$

$= - \frac{5}{3}\int {\frac{{dt}}{t}} + \frac{{11}}{3}\int {\frac{{ds}}{s}} = - \frac{5}{3}\ln \left| t \right| + \frac{{11}}{3}\ln \left| s \right| + C = - \frac{5}{3}\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{{11}}{3}\ln \left| {x - 2} \right| + C =$

$= \ln {\left| {x + 1} \right|^{ - \frac{5}{3}}} + \ln {\left| {x - 2} \right|^{\frac{{11}}{3}}} + C = \ln \frac{1}{{{{\sqrt[3]{{x + 1}}}^5}}} + \ln {\sqrt[3]{{x - 2}}^{11}} + C =$

$= \ln \frac{{{{\sqrt[3]{{x - 2}}}^{11}}}}{{{{\sqrt[3]{{x + 1}}}^5}}} + C$

Рационалну функцију $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , у којој је степен бројиоца мањи од степена имениоца, интегралите растављањем на просте разломке. Именилац прво раставите на чиниоце; ако има две различите нуле $a$ и $b$ , пишемо $\frac{P(x)}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$ . Константе налазите изједначавањем коефицијената уз исте степене или, брже, уврштавањем $x = a$ и $x = b$ у једнакост бројилаца, јер тада по један сабирак нестане. Сваки разломак даје логаритам: $\int \frac{A\,dx}{x - a} = A\ln|x - a| + C$ . На крају се логаритми могу спојити у један, $A\ln|x - a| + B\ln|x - b| = \ln\left(|x - a|^A|x - b|^B\right)$ .

Не изостављајте апсолутне вредности и пре почетка проверите да ли именилац заиста има две реалне нуле.

Брзина v₁40 m/s

Време до v₁: 5,49 s
Брзина v₁: 144 km/h

Плава крива је брзина падобранца

v(t) = 50 \cdot \frac{e^{0{,}4t} - 1}{e^{0{,}4t} + 1}

, добијена из

t = 2{,}5\ln\frac{50 + v}{50 - v}

. Без отпора ваздуха брзина би расла по испрекиданој правој

v = 10t

. Брзина од 50 m/s се никад не достигне: време до ње расте преко сваке границе.

Растављањем на просте разломке физичари рачунају пад падобранца и других тела кроз ваздух, а биолози и епидемиолози време у логистичком моделу раста популације и ширења заразе.

Падобранац у слободном паду

Падобранац искаче из авиона и пада са затвореним падобраном. Ако узмемо $g \approx 10$ m/s², због отпора ваздуха његово убрзање је $10 - 0{,}004v^2$ m/s², па брзина не може да пређе 50 m/s. Колико времена треба падобранцу да из мировања достигне брзину 40 m/s?

Решење

Из $\frac{dv}{dt} = 0{,}004(2500 - v^2)$ следи $dt = \frac{dv}{0{,}004(2500 - v^2)} = \frac{250\,dv}{(50 - v)(50 + v)}$ .
Растављање: $\frac{1}{(50 - v)(50 + v)} = \frac{A}{50 - v} + \frac{B}{50 + v}$ , тј. $1 = A(50 + v) + B(50 - v)$ . За $v = 50$ добијамо $A = \frac{1}{100}$ , а за $v = -50$ добијамо $B = \frac{1}{100}$ .
$t = 2{,}5\int\left(\frac{1}{50 - v} + \frac{1}{50 + v}\right)dv = 2{,}5\ln\frac{50 + v}{50 - v} + C$ , за $0 \le v < 50$ .
Из $t(0) = 0$ следи $C = 0$ , па за $v = 40$ : $t = 2{,}5\ln\frac{90}{10} = 2{,}5\ln 9 \approx 5{,}5$ s.

Одговор: Падобранац достигне 40 m/s, односно 144 km/h, за око 5,5 s.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{3x + 1}{x^2 - 1}\,dx$ .

Прикажи решење

$\frac{3x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}$ (уврстите $x = 1$ и $x = -1$ у $3x + 1 = A(x - 1) + B(x + 1)$ ), па је интеграл $\ln|x + 1| + 2\ln|x - 1| + C$ .