Неодређени интеграли – метода смене 5

Интеграли. Особине интеграла. Метода смене. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Решити

Пр.17) $\int {\frac{{dx}}{{1 + 9{x^2}}}}$

Пр.18) $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - 5{x^2}} }}}$

Пр.19) $\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {3x - 5} \right)}^2} - 4}}}$

Пр.20) $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 4x - 4}}}$

Пр.21) $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}}$

Пр.17) $\int {\frac{{dx}}{{1 + 9{x^2}}}} = \int {\frac{{dx}}{{1 + {{\left( {3x} \right)}^2}}}} =$

Смена: $3x = t|'$

$3dx = dt$

$dx = \frac{{dt}}{3}$

$= \int {\frac{{\frac{{dt}}{3}}}{{1 + {{\left( t \right)}^2}}}} = \frac{1}{3}\int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} = \frac{1}{3}arctgt + C = \frac{1}{3}arctg3x + C$

Пр.18) $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - 5{x^2}} }}} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {4\left( {1 - \frac{5}{4}{x^2}} \right)} }}} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt 4 \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}x} \right)}^2}} }}} =$

Смена: $\frac{{\sqrt 5 }}{2}x = t$

$\frac{{\sqrt 5 }}{2}dx = dt$

$dx = \frac{2}{{\sqrt 5 }}dt$

$= \frac{1}{2}\int {\frac{{\frac{2}{{\sqrt 5 }}dt}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }}\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\arcsin t + C = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\arcsin \frac{{\sqrt 5 }}{2}x + C$

Пр.19) $\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {3x - 5} \right)}^2} - 4}}} = \int {\frac{{dx}}{{ - 4\left( {1 - \frac{{{{\left( {3x - 5} \right)}^2}}}{4}} \right)}}} = - \frac{1}{4}\int {\frac{{dx}}{{1 - {{\left( {\frac{{3x - 5}}{2}} \right)}^2}}}} =$

Смена: $\frac{{3x - 5}}{2} = t$

${\left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{5}{2}} \right)^\prime }dx = t'dt$

$\frac{3}{2}dx = dt$

$dx = \frac{2}{3}dt$

$= - \frac{1}{4}\int {\frac{{\frac{2}{3}dt}}{{1 - {t^2}}}} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}\int {\frac{{dt}}{{1 - {t^2}}}} = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + t}}{{1 - t}}} \right| + C =$

$= - \frac{1}{{12}}\ln \left| {\frac{{1 + \frac{{3x - 5}}{2}}}{{1 - \frac{{3x - 5}}{2}}}} \right| + C = - \frac{1}{{12}}\ln \left| {\frac{{\frac{{2 + 3x - 5}}{2}}}{{\frac{{2 - 3x + 5}}{2}}}} \right| + C =$

$= - \frac{1}{{12}}\ln \left| {\frac{{3x - 3}}{{7 - 3x}}} \right| + C$

Пр.20) $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 4x - 4}}}$

Смена: $x - 2 = t$

$\frac{{\sqrt 5 }}{2}dx = dt$

$dx = dt$

$= \int {\frac{{dt}}{{{t^2}}}} = \int {{t^{ - 2}}dt = \frac{{{t^{ - 3}}}}{{ - 3}}} + C = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{t^3}}} + C = - \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}} + C$

Пр.21) $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}} = \int {\frac{{dx}}{{{x^2} + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1}}} = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}} = \int {\frac{{dx}}{{\frac{3}{4}\left( {1 + \frac{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}}}{{\frac{3}{4}}}} \right)}} = }$

$= \frac{4}{3}\int {\frac{{dx}}{{1 + \frac{{4{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}}}{3}}} = } \frac{4}{3}\int {\frac{{dx}}{{1 + {{\left( {\frac{{2\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = }$

Смена: $\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }} = t$

${\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^\prime }dx = t'dt$

$\frac{2}{{\sqrt 3 }}dx = dt$

$dx = \frac{{\sqrt 3 }}{2}dt$

$= \frac{4}{3}\int {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}dt}}{{1 + {t^2}}} = } \frac{4}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}} = } \frac{{2\sqrt 3 }}{3}arctgt + C = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}arctg\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }} + C$

Интеграли са $a^2 + x^2$ , $a^2 - x^2$ или квадратним триномом у имениоцу своде се на три таблична: $\int \frac{dt}{1 + t^2} = \operatorname{arctg} t + C$ , $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \arcsin t + C$ и $\int \frac{dt}{1 - t^2} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1 + t}{1 - t}\right| + C$ . Циљ је да у имениоцу добијете јединицу плус или минус квадрат нове променљиве. Зато прво извуците константу, $\frac{1}{4 + 9x^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{3x}{2}\right)^2}$ , па уведите $t = \frac{3x}{2}$ и $dx = \frac{2}{3}\,dt$ . Кад $a^2$ извлачите испод корена $\sqrt{a^2 - x^2}$ , испред корена излази $a$ , а не $a^2$ . Трином $x^2 + px + q$ прво допуните до квадрата, $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + q - \frac{p^2}{4}$ : ако је $q - \frac{p^2}{4} > 0$ , добија се арктангенс, а ако је негативно, логаритам.

Најчешћа грешка је изостављен фактор који долази из смене, на пример $\frac{2}{3}$ из $dx = \frac{2}{3}\,dt$ .

Време t₀3 s

Површина, у радијанима: 0,785
arctg(t₀/3): 0,785
Угао камере: 45°

Површина испод криве угаоне брзине од 0 до

t_0

је угао за који се камера окренула, и једнака је

\operatorname{arctg}\frac{t_0}{3}

. Ма колико тркач трчао, угао не прелази

90^\circ

: то је граница арктангенса.

Камере и радари који прате тркача, аутомобил или авион окрећу се угаоном брзином облика $\frac{c}{a^2 + t^2}$ , па се угао окретања добија баш овим интегралом са арктангенсом.

Камера прати тркача

Камера на атлетском стадиону у Новом Саду стоји 30 m од праве стазе и прати тркача који трчи брзином 10 m/s. Ако време $t$ меримо од тренутка кад је тркач најближи камери, камера се окреће угаоном брзином $\omega(t) = \frac{3}{9 + t^2}$ радијана у секунди. За колики угао се окрене за прве 3 s?

Решење

Угао је примитивна функција угаоне брзине: $\theta(t) = \int \frac{3\,dt}{9 + t^2}$ .
Извлачимо 9 из имениоца: $\frac{3}{9 + t^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{t}{3}\right)^2}$ .
Смена $u = \frac{t}{3}$ , $dt = 3\,du$ : $\theta = \frac{1}{3} \cdot 3\int \frac{du}{1 + u^2} = \operatorname{arctg}\frac{t}{3} + C$ .
У $t = 0$ камера гледа нормално на стазу, па је $\theta(0) = 0$ и $C = 0$ . За $t = 3$ : $\theta = \operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$ .
Провера: за 3 s тркач претрчи 30 m, исто колико је камера удаљена од стазе, а у таквом правоуглом троуглу угао је $45^\circ$ .

Одговор: Камера се за прве 3 s окрене за $\frac{\pi}{4}$ , односно за $45^\circ$ .

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{dx}{x^2 + 6x + 13}$ .

Прикажи решење

$x^2 + 6x + 13 = (x + 3)^2 + 4$ . Смена $t = \frac{x + 3}{2}$ , $dx = 2\,dt$ : $\frac{1}{4}\int \frac{2\,dt}{1 + t^2} = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{x + 3}{2} + C$ .