Неодређени интеграли – парцијална интеграција 1

Интеграли. Особине интеграла. Парцијална интеграција. Дефиниција. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Решити $\int {\ln xdx}$

Пр.2) $\int {arctgxdx}$

Пр.3) $\int {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} dx$

Пр.1) $\int {\ln xdx} =$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\ln x = u \\ &\frac{1}{x}dx = du\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&dv = dx \\ &\int {dv} = \int {dx} \\ &v = x + C\end{aligned} \end{array}$

$= \ln x \cdot x - \int {x \cdot \frac{1}{x}} dx = x\ln x - x + C = x\left( {\ln x - 1} \right) + C$

Пр.2) $\int {arctgxdx}=$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&arctgx = u \\ &\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx = du\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&dv = dx/\smallint \\ &\int {dv = \int {dx} } \\ &v = x + C\end{aligned} \end{array}$

$= x \cdot arctgx - \int {\frac{{xdx}}{{1 + {x^2}}}} =$

Смена:

$1 + {x^2} = t/'$

$2xdx = dt$

$xdx = \frac{{dt}}{2}$

$= x \cdot arctgx - \int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{t}} = x \cdot arctgx - \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C = x \cdot arctgx - \frac{1}{2}\ln \left| {1 + {x^2}} \right| + C$

Пр.3) $\int {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} dx=$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&u = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \\ &du = \frac{1}{{{x^2} + 1}}{\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime }dx \\ &du = \frac{1}{{{x^2} + 1}}2xdx\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&dv = dx/\smallint \\ &\smallint dv = \smallint dx \\ &v = x + C\end{aligned} \end{array}$

$= x\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - \int {x \cdot } \frac{1}{{{x^2} + 1}}2xdx = x\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - 2\int {\frac{{{x^2} + 1 - 1}}{{{x^2} + 1}}dx} =$

$= x\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - 2\left( {\int {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}}dx - \int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} } } \right) = x\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - 2\left( {x - arctgx} \right) + C$

Парцијална интеграција следи из извода производа: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . За $u$ бирајте функцију која се извођењем поједностављује, као што су $\ln x$ , $\operatorname{arctg} x$ и $\arcsin x$ , а за $dv$ остатак који лако интегралите. Кад је под интегралом само таква функција, узмите $dv = dx$ и $v = x$ : $\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$ . Нови интеграл $\int v\,du$ мора бити лакши од почетног; често га решава смена или трик као $x^2 = (x^2 + 1) - 1$ .

Константу $C$ није потребно писати уз $v$ , довољно је додати је на крају. Ако после избора $u$ и $dv$ интеграл постане тежи, замените им улоге.

Тренутак t₀5 s

Пређени пут s(t₀): 46 m
Нагиб тангенте: 14,33
Брзина 8·ln(1 + t₀): 14,33 m/s

Плава крива је пређени пут

s(t) = 8(1 + t)\ln(1 + t) - 8t

. Нагиб тангенте у

t_0

једнак је брзини

8\ln(1 + t_0)

: тако се проверава да је

s

примитивна функција брзине. Крива је све стрмија, јер брзина стално расте.

Интеграл логаритма даје пређени пут ракете, чија брзина по формули Циолковског расте као $\ln\frac{m_0}{m}$ , а из њега се добија и Стирлингова процена $\ln n! \approx n\ln n - n$ , коју користе статистичари и програмери.

Аутомобил убрзава

Аутомобил креће са семафора у Новом Саду. По поједностављеном моделу, његова брзина после $t$ секунди је $8\ln(1 + t)$ m/s, у првих 10 s: у почетку брзо убрзава, а затим све спорије. Одредите пређени пут $s(t)$ и израчунајте колики пут аутомобил пређе за 10 s и коју брзину тада има.

Решење

Пут је примитивна функција брзине: $s(t) = 8\int \ln(1 + t)\,dt$ , уз $s(0) = 0$ .
Парцијално: $u = \ln(1 + t)$ и $dv = dt$ , па је $du = \frac{dt}{1 + t}$ . За $v$ узимамо $1 + t$ уместо $t$ : и то је примитивна функција од 1, а скратиће се са имениоцем.
$\int \ln(1 + t)\,dt = (1 + t)\ln(1 + t) - \int (1 + t) \cdot \frac{dt}{1 + t} = (1 + t)\ln(1 + t) - t + C$ .
$s(t) = 8(1 + t)\ln(1 + t) - 8t + C$ , а из $s(0) = 0$ следи $C = 0$ .
За $t = 10$ : $s = 88\ln 11 - 80 \approx 211{,}0 - 80 = 131{,}0$ m, а брзина је $8\ln 11 \approx 19{,}2$ m/s, око 69 km/h.

Одговор: За 10 s аутомобил пређе око 131 m и убрза до око 19,2 m/s, то јест 69 km/h.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \arcsin x\,dx$ .

Прикажи решење

$u = \arcsin x$ , $dv = dx$ : $x\arcsin x - \int \frac{x\,dx}{\sqrt{1 - x^2}}$ . Сменом $t = 1 - x^2$ последњи интеграл је $-\sqrt{1 - x^2}$ , па је резултат $x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$ .