Дељивост бројевима 25 и 4

Особине, решени задаци.

Задаци


Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Испитати да ли је тачно:

           а) 25∣367525|3675

           б) 25∣459625|4596

           в) 25∣1450025|14500

           г) 25∣1139225|11392

Пр.2)   Испитати да ли је тачно:

           а) 4∣65244|6524

           б) 4∣123544|12354

           в) 4∣145004|14500

           г) 4∣48924|4892

Пр.3)   Уместо ∗* ставити одговарајуће цифре тако да важи:

           а) 25∣45∗25|45 *

           б) 4∣453∗4|453 *

           в) 25∣54∗025|54 * 0

           г) 4∣425∗04|425 * 0

           д) 25∣54∗225|54 * 2

           ђ) 4∣123∗444|123 * 44


Пр.1)   Испитати да ли је тачно:

           а) 25∣367525|3675   тачно

           б) 25∣459625|4596  није тачно

           в) 25∣1450025|14500  тачно

           г) 25∣1139225|11392 није тачно

Пр.2)   Испитати да ли је тачно:

           а) 4∣65244|6524   тачно

           б) 4∣123544|12354 није тачно

           в) 4∣145004|14500 тачно

           г) 4∣48924|4892 тачно

Пр.3)   Уместо ∗* ставити одговарајуће цифре тако да важи:

           а) 25∣45∗25|45 *       ∗∈{0}* \in \left\{ 0 \right\}

           б) 4∣453∗4|453 *       ∗∈{2,6}* \in \left\{ 2,6 \right\}

           в) 25∣54∗025|54 * 0      ∗∈{0,5}* \in \left\{ 0,5 \right\}

           г) 4∣425∗04|425 * 0       ∗∈{0,2,4,6,8}* \in \left\{ 0,2,4,6,8 \right\}

           д) 25∣54∗225|54 * 2       ∗=∅* = \emptyset

           ђ) 4∣123∗444|123 * 44     ∗∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}* \in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}

Број је дељив са 4 ако је са 4 дељив двоцифрени број који чине његове последње две цифре, а дељив је са 25 ако се завршава са 00, 25, 50 или 75. На пример, 4∣73164 \mid 7316, јер 4∣164 \mid 16, а 25∣347525 \mid 3475, јер се завршава са 75. Правило важи зато што је 100 дељиво и са 4 и са 25, па стотине, хиљаде и веће јединице не утичу на остатак.

Кад је ∗* међу последње две цифре, испробајте само те двоцифрене завршетке; ако није, а завршетак не испуњава правило, решења нема. Честа грешка је да се за 4 гледа само последња цифра: 34 је паран број, али није дељив са 4.

7 · 4 = 28
20
28
4
Број
2028
Остатак броја
0
Остатак завршетка
0
Тачака има онолико колики је број од последње две цифре. Мењајте прве две цифре: остатак целог броја се не мења, јер је 100 дељиво и са 4 и са 25. Почетни број је 2028, преступна година из примера.

По дељивости са 4 одређују се преступне године у календару, а дељивост са 25 проверавате кад робу пакујете по 25 комада, на пример ексере, коверте или плочице.

Преступне године

Година је преступна (има 29. фебруар) ако је њен број дељив са 4. Изузетак су године дељиве са 100: оне су преступне само ако су дељиве и са 400. Које од година 2026, 2028, 2036 и 2100 су преступне?

Решење

  1. За дељивост са 4 гледамо последње две цифре: 26, 28, 36 и 00.
  2. 4∤264 \nmid 26, па 2026. није преступна. 28=4⋅728 = 4 \cdot 7 и 36=4⋅936 = 4 \cdot 9, па су 2028. и 2036. преступне.
  3. 2100 се завршава са 00, па је дељива са 4, али и са 100. Зато проверавамо 400: 2100=400⋅5+1002100 = 400 \cdot 5 + 100, остатак није 0, па 2100. није преступна.

Одговор: Преступне су 2028. и 2036. година, а 2026. и 2100. нису.

Задатак за вежбу

Које цифре можете ставити уместо ∗* тако да важи: а) 4∣51∗64 \mid 51*6; б) 25∣83∗525 \mid 83*5?

Прикажи решење

а) Завршетак ∗6*6 мора бити дељив са 4: то су 16, 36, 56, 76 и 96, па је ∗∈{1,3,5,7,9}* \in \{1, 3, 5, 7, 9\}. б) Завршетак ∗5*5 мора бити 25 или 75, па је ∗∈{2,7}* \in \{2, 7\}.