Кружница и права

Дефиниције и решени задаци.

Положај праве $p$ према кружници $k(O, r)$ зависи од растојања $d$ центра $O$ од праве, то јест од дужине нормале из $O$ на праву $p$ . Ако је $d > r$ , права и кружница немају заједничких тачака. Ако је $d = r$ , имају тачно једну заједничку тачку $T$ : права је тангента и нормална је на полупречник $OT$ . Ако је $d < r$ , права сече кружницу у две тачке $A$ и $B$ и зове се сечица, а дуж $AB$ је тетива.

Растојање се мери по нормали, а не до било које тачке праве; то је најчешћа грешка. Права кроз центар ( $d = 0$ ) сече кружницу у крајевима пречника.

Полупречник r3 cm

Растојање d: 4 cm
Заједничких тачака: 0

Спуштајте праву ка центру: док је

d > r

, нема заједничких тачака, при

d = r

права је тангента, а при

d < r

сечица. Растојање

d

се мери по нормали из центра.

Пут је тангента точка: додирује га у једној тачки, а полупречник до те тачке стоји нормално на пут. Ланац бицикла и каиш у мотору такође се одвајају од точка дуж тангенте.

Стазе поред травњака

Округли травњак у парку у Нишу има полупречник 6 m. Планирају се три праве стазе: прва на 9 m од центра травњака, друга на 6 m, а трећа на 4 m. Која стаза заобилази травњак, која га само додирује, а која пролази кроз њега? Колико заједничких тачака има ивица травњака са сваком стазом?

Решење

Ивица травњака је кружница полупречника $r = 6$ m, а $d$ је растојање стазе од центра.
Прва стаза: $d = 9 > 6$ , нема заједничких тачака са ивицом и заобилази травњак.
Друга стаза: $d = 6 = r$ , тангента је и додирује ивицу у једној тачки.
Трећа стаза: $d = 4 < 6$ , сечица је и сече ивицу у две тачке, а између њих пролази преко травњака дуж тетиве.

Одговор: Прва стаза заобилази травњак (0 тачака), друга га додирује (1 тачка), а трећа пролази кроз њега (2 тачке).

Задатак за вежбу

Права додирује кружницу пречника 10 cm. Колико је центар кружнице удаљен од те праве? Колико заједничких тачака са истом кружницом има права удаљена 3 cm од центра?

Прикажи решење

Полупречник је $10 : 2 = 5$ cm, а тангента је од центра удаљена тачно $r$ , дакле 5 cm. Права на 3 cm је сечица, јер је $3 < 5$ , па има две заједничке тачке.