Тачка, права, раван

Објашњење појмова тачка, права и раван. Одређеност праве и равни.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Колико правих је одређено са четири тачке ако:

а) међу њима не постоје три колинеарне тачке,

б) међу њима постоје тачно три колинеарне тачке.

Пр.1)

500 png

$\begin{aligned}&p\left( {A,B} \right) \\ &p\left( {B,C} \right) \\ &p\left( {C,D} \right) \\ &p\left( {A,D} \right) \\ &p\left( {B,D} \right) \\ &p\left( {A,C} \right)\end{aligned}$

одређено је 6 правих

501 png

$\begin{aligned}&p\left( {A,B,C} \right) \\ &p\left( {A,D} \right) \\ &p\left( {B,D} \right) \\ &p\left( {C,D} \right)\end{aligned}$

одређено је 4 праве.

Тачка, права и раван су основни појмови геометрије: не дефинишу се, него их замишљамо и цртамо. Тачке обележавамо великим словима ( $A$ , $B$ ), праве малим ( $p$ , $q$ ), а равни грчким словима ( $\alpha$ , $\pi$ ). Кроз две различите тачке пролази тачно једна права, коју пишемо $p(A, B)$ . Тачке које леже на истој правој су колинеарне.

Кад бројите праве које одређује $n$ тачака, од којих никоје три нису колинеарне, спојите сваку тачку са сваком од осталих. Тако добијате $n \cdot (n - 1)$ парова, али је свака права бројана двапут, па правих има $n \cdot (n - 1) : 2$ . Ако су неке три тачке колинеарне, оне дају једну праву уместо три: 4 тачке, од којих су тачно три колинеарне, одређују 4 праве, а не 6.

Број различитих правих: 6

Сваке две тачке одређују једну праву. Превуците тачку

C

на праву кроз

A

и

B

: три праве се стопе у једну, па четири тачке одређују 4 праве уместо 6.

Геометри и грађевинари обележавају праве линије кочићима, канапом и ласером: кроз две тачке пролази једна права, па се ограда, зид или ред садница поставља тако што се свака следећа тачка доведе у линију са прве две.

Кочићи на градилишту

Геометар је на градилишту ударио 5 кочића, тако да никоја три нису на истој правој. Кроз свака два кочића може да повуче по једну праву. Колико различитих правих одређују кочићи? Колико би их било да су тачно три кочића на истој правој, дуж ивице пута?

Решење

Сваки кочић упарујемо са 4 остала: $5 \cdot 4 = 20$ парова.
Свака права је тако бројана двапут (права кроз $A$ и $B$ иста је као права кроз $B$ и $A$ ), па правих има $20 : 2 = 10$ .
Ако су три кочића колинеарна, њихова 3 пара дају исту праву, па уместо 3 праве добијамо само 1.
Тада правих има $10 - 3 + 1 = 8$ .

Одговор: Пет кочића одређује 10 правих, а ако су тачно три на истој правој, 8 правих.

Задатак за вежбу

Колико правих одређује 6 тачака, од којих никоје три нису колинеарне? Колико их има ако су тачно 4 тачке на једној правој, а међу осталим тројкама тачака нема колинеарних?

Прикажи решење

$6 \cdot 5 : 2 = 15$ правих. Четири колинеарне тачке чине $4 \cdot 3 : 2 = 6$ парова, а дају само једну праву, па правих има $15 - 6 + 1 = 10$ .