Круг, кружница, права

Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.2) Нацртати кружницу $k\left( {S,3cm} \right)$ и праву $p$ ако је

централно растојање те праве:

а)

d = 4cm

б)

d = 3cm

в)

d = 2cm

У сваком од наведених случајева одредити

k \cap p

и

K \cap p

.

Пр.3) Колико је растојање између центара кружница

k\left( {S,5cm} \right)

и

k\left( {M,4cm} \right)

ако се оне додирују:

а) споља б) изнутра?

Пр.2)

506 png

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {k \cap p = \emptyset }&{}&{}&{k \cap p = \left\{ T \right\}}&{}&{}&{k \cap p = \left\{ {A,B} \right\}} \\ {K \cap p = \emptyset }&{}&{}&{K \cap p = \left\{ T \right\}}&{}&{}&{K \cap p = AB} \end{array}$

Пр.3)

507 png

Задаци повезују кружницу $k$ , круг $K$ и праву $p$ преко растојања $d$ центра од праве. Ако је $d > r$ , онда је $k \cap p = \emptyset$ и $K \cap p = \emptyset$ . Ако је $d = r$ , права је тангента: $k \cap p = \{T\}$ и $K \cap p = \{T\}$ . Ако је $d < r$ , онда је $k \cap p = \{A, B\}$ , а $K \cap p$ је цела дуж $AB$ , јер круг садржи и унутрашњост.

Код две кружнице које се додирују центри и тачка додира леже на истој правој: при додиру споља растојање центара је $r_1 + r_2$ , а при додиру изнутра $r_1 - r_2$ . Пазите да пресек праве и круга није пар тачака, него дуж.

Растојање d: 4 cm
Тачака у k ∩ p: 0
Дужина K ∩ p: 0 cm

Поставите праву на растојање 4, 3 и 2 од центра кружнице полупречника 3 cm. Зелени део праве је

K \cap p

: при

d < r

то је тетива, при

d = r

само тачка додира, а при

d > r

празан скуп.

Пресеци праве са кругом појављују се у урбанизму и саобраћају: део праве улице који пролази преко округлог трга је тетива, а место где улица само додирне трг је тачка додира.

Улица и округли трг

Округли трг у центру града има полупречник 30 m. Оса праве улице $p$ пролази на 20 m од центра трга. Нека је $k$ ивица трга, а $K$ цео трг. Шта су $k \cap p$ и $K \cap p$ ? Шта би било да улица пролази на 30 m, односно на 40 m од центра?

Решење

За $d = 20$ m је $d < r = 30$ m, па права сече ивицу трга у две тачке: $k \cap p = \{A, B\}$ .
Преко трга улица пролази целом дужином између $A$ и $B$ , па је $K \cap p$ дуж $AB$ , тетива трга.
За $d = 30$ m улица само додирује трг: $k \cap p = K \cap p = \{T\}$ .
За $d = 40$ m улица пролази поред трга: $k \cap p = K \cap p = \emptyset$ .

Одговор: За 20 m је $k \cap p = \{A, B\}$ , а $K \cap p$ је дуж $AB$ ; за 30 m оба пресека су $\{T\}$ ; за 40 m оба су празна.

Задатак за вежбу

Кружнице $k_1(O_1, 6\ \mathrm{cm})$ и $k_2(O_2, 2\ \mathrm{cm})$ се додирују. Колико је растојање $O_1O_2$ ако се додирују споља, а колико ако се додирују изнутра?

Прикажи решење

Споља: $O_1O_2 = 6 + 2 = 8$ cm. Изнутра: $O_1O_2 = 6 - 2 = 4$ cm.