Најмањи заједнички садржалац

Дефиниција, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Одредити:

а)

S

(4) б)

S

(8) в)

S

(11)

Пр.2) Одредити заједничке садржаоце следећих бројева:

а) 2 и 3 б) 4 и 6 в) 8 и 12

Пр.3) Одредити најмањи заједнички садржалац следећих

природних бојева:

а) 8 и10 б) 14 и 20 в) 2, 5 и 7 г) 10, 12 и 80

Пр.4) Одредити најмањи број ученика који се могу сврстати

у колоне или по 8, или по 10 или по 12 ученика?

Пр.1) Одредити:

а)

S

(4) б)

S

(8) в)

S

(11)

$\begin{aligned}&S\left( 2 \right) = \left\{ {2,4,6,8,10...} \right\} \\ &S\left( 8 \right) = \left\{ {8,16,24,32,40...} \right\} \\ &S\left( {11} \right) = \left\{ {11,22,33,44,55...} \right\}\end{aligned}$

Пр.2) Одредити заједничке садржаоце следећих бројева:

а) 2 и 3

$\begin{aligned}&S\left( 2 \right) = \left\{ {2,4,6,8,10...} \right\} \\ &S\left( 3 \right) = \left\{ {3,6,9,12,15...} \right\} \\ &S\left( {2,3} \right) = \left\{ {6,12,18,24...} \right\}\end{aligned}$

б) 4 и 6

$\begin{aligned}&S\left( 4 \right) = \left\{ {4,8,12,16,20...} \right\} \\ &S\left( 6 \right) = \left\{ {6,12,18,24,30...} \right\} \\ &S\left( {4,6} \right) = \left\{ {12,24,36...} \right\}\end{aligned}$

в) 8 и 12

$\begin{aligned}&S\left( 8 \right) = \left\{ {8,16,24,32,40...} \right\} \\ &S\left( {12} \right) = \left\{ {12,24,36,48,60...} \right\} \\ &S\left( {8,12} \right) = \left\{ {24,48,72...} \right\}\end{aligned}$

Пр.3) Одредити најмањи заједнички садржалац следећих

природних бојева:

а) 8 и10 б) 14 и 20 в) 2, 5 и 7 г) 10, 12 и 80

537 png

Пр.4) Одредити најмањи број ученика који се могу сврстати

у колоне или по 8, или по 10 или по 12 ученика?

538 png

Садржаоци броја $a$ су бројеви дељиви са $a$ : $S(4) = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, \ldots\}$ . Бројеви који су у скупу садржалаца оба броја су њихови заједнички садржаоци, а најмањи међу њима је најмањи заједнички садржалац, НЗС. За 4 и 6 то је 12.

Брже је истовремено растављање: бројеве делите заједно простим бројем који дели бар један од њих (остале само препишете), док не добијете све јединице. НЗС је производ свих тих простих бројева: НЗС(8, 20) $= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 40$ . НЗС узајамно простих бројева је њихов производ, а ако један број дели други, НЗС је већи од њих. Не мешајте НЗС и НЗД: НЗС никад није мањи од највећег датог броја.

Први полази на сваких12 min

Други полази на сваких18 min

НЗС интервала: 36 min
Производ два интервала: 216

Зелени скокови су поласци првог аутобуса, а љубичасти другог. Први пут се поклапају у НЗС, а после тога на сваких НЗС минута. Пробајте 8 и 12, па 5 и 6: кад бројеви немају заједнички делилац осим 1, НЗС је њихов производ.

НЗС каже кад ће се два понављања поново поклопити: поласци аутобуса са различитим интервалима, смене на послу, светла која трепћу различитим ритмом или зупци два зупчаника.

Два аутобуса

Са исте станице један аутобус полази на сваких 12 минута, а други на сваких 18 минута. У 7:00 кренули су истовремено. У колико сати ће следећи пут поћи заједно?

Решење

Први полази после 12, 24, 36, 48… минута, а други после 18, 36, 54… минута. Заједно полазе после заједничких садржалаца, а први пут после НЗС(12, 18).
Истовремено растављање: 12 и 18 делимо са 2 (6 и 9), опет са 2 (3 и 9), па са 3 (1 и 3) и још једном са 3 (1 и 1).
НЗС(12, 18) $= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$ , па заједно полазе после 36 минута.

Одговор: Аутобуси ће следећи пут поћи заједно у 7:36.

Задатак за вежбу

Колико најмање ученика има група која може да се поређа у пуне колоне и по 6, и по 8, и по 9 ученика?

Прикажи решење

Тражимо НЗС(6, 8, 9) $= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72$ . У групи је најмање 72 ученика.