Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Углови на трансверзали

Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

1. Нека су дате две паралелне праве aa и bb, и нека су оне пресечене правом cc. Нека права aa и права cc граде угао од 73∘{73^\circ }. Одредити мере свих конвексних углова које права cc гради са правама aa и bb.

2. Збир два трансверзална угла је 136∘{136^\circ }. Одредити мере свих трансверзалних углова.

3.Одредити мере свих трансверзалних углова, ако се зна да је један већи од другог:

(а) пет пута

(б) за 33∘{33^\circ }.

4. Израћунати мере углова α\alpha и β\beta, ако су праве aa и bb  паралелне праве.107

1. 

526 png

2. Збир два трансверзална угла је 136∘{136^\circ }. 

527 png

3.Одредити мере свих трансверзалних углова, ако се зна да је један већи од другог:

(а) пет пута

β=5αα+β=180∘α+5α=180∘6α=180∘α=30∘⇒β=5⋅30∘=150∘\begin{aligned}&\beta = 5\alpha \\ &\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &\alpha + 5\alpha = {180^ \circ } \\ &6\alpha = {180^ \circ } \\ &\alpha = {30^ \circ } \Rightarrow \beta = 5 \cdot {30^ \circ } = {150^ \circ }\end{aligned}

(б) за 33∘{33^\circ }

β=α+33∘\beta = \alpha + {33^ \circ }
α+β=180∘\alpha + \beta = {180^ \circ }
α+α+33∘=180∘\alpha + \alpha + {33^ \circ } = {180^ \circ }
2α=180∘−33∘=147∘2\alpha = {180^ \circ } - {33^ \circ } = {147^ \circ }
α=73∘30′⇒β=73∘30′+33∘=106∘30′\alpha = {73^ \circ }30' \Rightarrow \beta = {73^ \circ }30' + {33^ \circ } = {106^ \circ }30'

4.

107

α=65∘60∘+β=180∘⇒β=180∘−60∘=120∘\begin{aligned}&\alpha = {65^ \circ } \\ &{60^ \circ } + \beta = {180^ \circ } \Rightarrow \beta = {180^ \circ } - {60^ \circ } = {120^ \circ }\end{aligned}

Кад две паралелне праве aa и bb пресече трећа права cc, трансверзала, настаје осам углова, по четири код сваке пресечне тачке. Међу њима постоје само две величине: сви оштри углови су једнаки, сви тупи такође, а оштар и туп заједно имају 180∘180^\circ.

Сагласни углови, који су на истом месту код праве aa и код праве bb, једнаки су. Наизменични углови, са различитих страна трансверзале, оба између паралела или оба ван њих, такође су једнаки. Супротни углови, са исте стране трансверзале и између паралела, имају збир 180∘180^\circ. Зато је довољно знати један угао. Ако је збир два угла различит од 180∘180^\circ, они су једнаки. Честа грешка је да се ова правила примене на праве које нису паралелне.

αβαβαβαβabc
62°
α
62°
β = 180° − α
118°
Сви углови обележени са α\alpha увек су једнаки, као и сви обележени са β\beta, а α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ. Почетних 62∘62^\circ је угао из примера са паркингом.

Линије косог паркирања, пешачки прелази и косе пречке на огради цртају се као паралелне линије пресечене једном правом, па мајстор који их обележава мери само један угао, а остале зна.

Косо паркирање

На паркингу у Новом Саду линије паркинг места су паралелне и свака са ивичњаком гради угао од 62∘62^\circ. Замислите ивичњак и две суседне линије као праве. Колико износи свих осам углова које ивичњак гради са те две линије?

Решење

  1. Линије паркинг места су паралелне праве, а ивичњак је њихова трансверзала, па код сваке линије настају по четири угла.
  2. Код прве линије угао од 62∘62^\circ има унакрсни угао од 62∘62^\circ и два упоредна угла од 180∘−62∘=118∘180^\circ - 62^\circ = 118^\circ.
  3. Сагласни углови код друге линије једнаки су угловима на истом месту код прве, па су и тамо два угла од 62∘62^\circ и два од 118∘118^\circ.

Одговор: Четири угла имају по 62∘62^\circ, а четири по 118∘118^\circ.

Задатак за вежбу

Две паралелне праве пресечене су трансверзалом. Један од насталих углова за 48∘48^\circ је већи од другог. Колики су сви углови?

Прикажи решење

Углови нису једнаки, па су суплементни: x+x+48∘=180∘x + x + 48^\circ = 180^\circ, x=66∘x = 66^\circ. Четири угла имају по 66∘66^\circ, а четири по 114∘114^\circ.