НЗД и НЗС – примена

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Одреди НЗС и НЗД за следеће бројеве:

а) 4 и 6 б) 3, 9 и 12 в) 12, 36 и 144

Пр.2) Одредити НЗД и НЗС за бројеве: а) 5 и 6 б) 8 и 11.

Пр.3) Три жице дужине 16 $cm$ , 24 $cm$ и 36 $cm$ исећи

на што веће делове једнаких дужина. Колика је дужина

сваког дела и колико таквих делова има укупно?

Пр.4) Колико најмање кликера има дечак тако да у сваки

џеп може да стави 15, 18 или 20 кликера?

Пр.5) Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 49 и 61

да би остатак при оба дељења био 1?

Пр.6) Од 156 играчака, 234 јабуке и 390 чоколадица направљен је

највећи могући број новогодишњих пакетића. Колико кошта

један пакетић ако је цена играчке 250 динара, јабуке 15 динара,

а чоколадице 12 динара?

Пр.1) Одреди НЗС и НЗД за следеће бројеве:

539 png

Пр.2) Одредити НЗД и НЗС за бројеве: а) 5 и 6 б) 8 и 11.

540 png

Пр.3) 541 png

Пр.4) Колико најмање кликера има дечак тако да у сваки

џеп може да стави 15, 18 или 20 кликера?

542 png

Пр.5) Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 49 и 61

да би остатак при оба дељења био 1?

543 png

Пр.6) Од 156 играчака, 234 јабуке и 390 чоколадица направљен је

највећи могући број новогодишњих пакетића. Колико кошта

један пакетић ако је цена играчке 250 динара, јабуке 15 динара,

а чоколадице 12 динара?

544 png

У задатку прво одлучите шта тражите. НЗД вам треба кад нешто делите на што веће једнаке делове или у што више једнаких пакета, без остатка: жице, плочице, пакетићи. Резултат није већи од најмањег датог броја. НЗС вам треба кад тражите најмањи број који се може поделити на групе и по $a$ , и по $b$ , или тренутак кад се два понављања поново поклопе: кликери у џеповима, ученици у колонама, зупчаници. Резултат није мањи од највећег датог броја.

Оба добијате истовременим растављањем: за НЗД делите само бројем који дели све бројеве, а за НЗС бројем који дели бар један. Ако при дељењу треба да остане исти остатак, прво га одузмите од сваког броја.

Први зупчаник, зубаца24

Други зупчаник, зубаца36

НЗС бројева зубаца: 72
Обртаји првог: 3
Обртаји другог: 2
НЗД бројева зубаца: 12

Сваки скок је један цео обртај зупчаника, мерен у пређеним зупцима. Скокови се први пут поклапају у НЗС. Кад бројеви зубаца немају заједнички делилац осим 1, НЗС је њихов производ, па се обојени зупци сусрећу тек после много обртаја.

Инжењери бирају бројеве зубаца зупчаника тако да им НЗС буде велики, па се исти парови зубаца ретко сусрећу и зупци се равномерније троше; организатори помоћу НЗД праве једнаке пакете и екипе.

Два зупчаника

Зупчаник са 24 зупца окреће зупчаник са 36 зубаца. Обојена су два зупца која се тренутно додирују, по један на сваком зупчанику. После колико обртаја сваког зупчаника ће се обојени зупци поново додирнути?

Решење

При сваком додиру зупчаници се помере за по један зубац. Обојени зупци поново се сусрећу кад број пређених зубаца буде садржалац и броја 24 и броја 36, а први пут у НЗС(24, 36).
Истовремено растављање: 24 и 36 делимо са 2 (12 и 18), са 2 (6 и 9), са 2 (3 и 9), са 3 (1 и 3) и са 3 (1 и 1).
НЗС(24, 36) $= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72$ зупца.
Мањи зупчаник се за то време окрене $72 : 24 = 3$ пута, а већи $72 : 36 = 2$ пута.

Одговор: Обојени зупци поново се додирују кад мањи зупчаник направи 3 обртаја, а већи 2.

Задатак за вежбу

Којим највећим бројем можете поделити бројеве 75 и 102 тако да у оба дељења остатак буде 3?

Прикажи решење

Одузмемо остатак: $75 - 3 = 72$ и $102 - 3 = 99$ . Тражени број је НЗД(72, 99) $= 9$ . Провера: $75 = 9 \cdot 8 + 3$ и $102 = 9 \cdot 11 + 3$ .