Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Углови – понављање градива

Решени задаци. Припрема за контролни задатак.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

1.Повезати како је започето:

108

2. Претворити мере јединице:

a)3∘=‾′\left. a \right){3^\circ } = {\underline {} ^\prime } b)120′′=‾′\left. b \right)120'' = {\underline {} ^\prime } 

c)20′′=‾′′\left. c \right)20'' = {\underline {} ^{\prime \prime }} 

d)36000′′=‾∘\left. d \right)36000'' = {\underline {} ^\circ } e)5∘=‾′\left. e \right){5^\circ } = {\underline {} ^\prime } 

f)180′′=‾′\left. f \right)180'' = {\underline {} ^\prime }

g)10′=‾′′\left. g \right)10' = {\underline {} ^{\prime \prime }}

i)7200′′=‾∘\left. i \right)7200'' = {\underline {} ^\circ }j)6′=‾′′\left. j \right)6' = {\underline {} ^{\prime \prime }}k)360000′′=‾∘\left. k \right)360000'' = {\underline {} ^\circ }

3. Дати су углови α=167∘34′42′′\alpha = {167^\circ }34'42'' и β=89∘47′54′′\beta = {89^\circ }47'54''. Израчунати следеће углове:

(а) α+β\alpha + \beta

(б) α−β\alpha - \beta

(в) 2β2\beta

(г) α:3\alpha :3

4.Дат је угао α=57∘32′\alpha = {57^\circ }32'. Одредити меру њему:

(а) комплементног

(б) суплементног

(в) унакрестног угла.

5. Одредити мере трансверзалних углова α\alpha и β\beta, ако је угао α\alpha већи од β\beta:

(а) за 46∘{46^\circ }

(б) пет пута.

6. Одредити мере углова на сликама.

530 png

1.

528 png

2. 

a)3∘=180‾′\left. a \right){3^\circ } = {\underline {180} ^\prime }b)120′′=2‾′\left. b \right)120'' = {\underline 2 ^\prime }

c)20′′=1200‾′′\left. c \right)20'' = {\underline {1200} ^{\prime \prime }}

d)36000′′=10‾∘\left. d \right)36000'' = {\underline {10} ^\circ }e)5∘=300‾′\left. e \right){5^\circ } = {\underline {300} ^\prime }

f)180′′=3‾′\left. f \right)180'' = {\underline 3 ^\prime }

g)10′=600‾′′\left. g \right)10' = {\underline {600} ^{\prime \prime }}

i)7200′′=2‾∘\left. i \right)7200'' = {\underline 2 ^\circ }j)6′=360‾′′\left. j \right)6' = {\underline {360} ^{\prime \prime }}k)360000′′=100‾∘\left. k \right)360000'' = {\underline {100} ^\circ }

3. α=167∘34′42′′\alpha = {167^\circ }34'42'' и β=89∘47′54′′\beta = {89^\circ }47'54''

529 png

4.Угао α=57∘32′\alpha = {57^\circ }32'

(а) комплементни:

α+β=90∘\alpha + \beta = {90^ \circ }

57∘32′+β=90∘{57^ \circ }32' + \beta = {90^ \circ }

β=90∘−57∘32′\beta = {90^ \circ } - {57^ \circ }32'

β=32∘28′\beta = {32^ \circ }28'

(б) суплементни:

α+β=180∘\alpha + \beta = {180^ \circ }

57∘32′+β=180∘{57^ \circ }32' + \beta = {180^ \circ }

β=180∘−57∘32′\beta = {180^ \circ } - {57^ \circ }32'

β=122∘28′\beta = {122^ \circ }28'

(в) унакрестни:

α=β\alpha = \beta

β=57∘32′\beta = {57^\circ }32'

5. Одредити мере трансверзалних углова α\alpha и β\beta, ако је угао α\alpha већи од β\beta:

(а) за 46∘{46^\circ }

α=β+46∘α+β=180∘β+46∘+β=180∘2β=180∘−46∘2β=134∘β=134∘:2β=67∘α=67∘+46∘α=113∘\begin{aligned}&\alpha = \beta + {46^ \circ } \\ &\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &\beta + {46^ \circ } + \beta = {180^ \circ } \\ &2\beta = {180^ \circ } - {46^ \circ } \\ &2\beta = {134^ \circ } \\ &\beta = {134^ \circ }:2 \\ &\beta = {67^ \circ } \\ &\alpha = {67^ \circ } + {46^ \circ } \\ &\alpha = {113^ \circ }\end{aligned}

(б) пет пута

α=5βα+β=180∘5β+β=180∘6β=180∘β=180∘:6β=30∘α=5⋅30∘α=150∘\begin{aligned}&\alpha = 5\beta \\ &\alpha + \beta = {180^ \circ } \\ &5\beta + \beta = {180^ \circ } \\ &6\beta = {180^ \circ } \\ &\beta = {180^ \circ }:6 \\ &\beta = {30^ \circ } \\ &\alpha = 5 \cdot {30^ \circ } \\ &\alpha = {150^ \circ }\end{aligned}

6. 

530 png

α=2xβ=3xα+β=90∘5x=90∘x=90∘:5x=18∘α=2⋅18∘α=36∘β=5⋅18∘β=54∘β=5αα+5α=180∘5α+α=180∘6α=180∘α=180∘:6α=30∘β=5⋅30∘β=150∘β=54∘110∘+α=180∘α=180∘−110∘α=70∘γ=αγ=70∘\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&\alpha = 2x \\ &\beta = 3x \\ &\alpha + \beta = {90^ \circ } \\ &5x = {90^ \circ } \\ &x = {90^ \circ }:5 \\ &x = {18^ \circ } \\ &\alpha = 2 \cdot {18^ \circ } \\ &\alpha = {36^ \circ } \\ &\beta = 5 \cdot {18^ \circ } \\ &\beta = {54^ \circ }\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\beta = 5\alpha \\ &\alpha + 5\alpha = {180^ \circ } \\ &5\alpha + \alpha = {180^ \circ } \\ &6\alpha = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ }:6 \\ &\alpha = {30^ \circ } \\ &\beta = 5 \cdot {30^ \circ } \\ &\beta = {150^ \circ }\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&\beta = {54^ \circ } \\ &{110^ \circ } + \alpha = {180^ \circ } \\ &\alpha = {180^ \circ } - {110^ \circ } \\ &\alpha = {70^ \circ } \\ &\gamma = \alpha \\ &\gamma = {70^ \circ }\end{aligned} \end{array}

Углове меримо у степенима: 1∘=60′1^\circ = 60' и 1′=60′′1' = 60''. Из веће јединице у мању множите са 60, а из мање у већу делите са 60. При сабирању преносите 60′′=1′60'' = 1' и 60′=1∘60' = 1^\circ, а при одузимању по потреби позајмљујете 1∘=60′1^\circ = 60'.

Комплемент угла α\alpha је 90∘−α90^\circ - \alpha, а суплемент 180∘−α180^\circ - \alpha. Упоредни углови имају збир 180∘180^\circ, а унакрсни су једнаки. Углови на трансверзали две паралелне праве и углови са паралелним крацима су или једнаки или суплементни. Кад су на слици углови задати са xx, запишите везу међу њима и решите једначину, па проверите да ли добијени углови имају смисла на слици.

ααααγ = 110°
35°
Нагиб α
35°
Угао у слемену γ
110°
Нагиб α\alpha понавља се у слемену, као наизменични угао уз испрекидану водоравну праву. Зато је угао у слемену γ=180∘−2α\gamma = 180^\circ - 2\alpha: кад нагиб порасте за 5∘5^\circ, слеме се сузи за 10∘10^\circ.

Тесари и архитекте овим правилима рачунају углове кровова, степеништа и греда: из нагиба крова и паралелних греда одређују све остале углове конструкције.

Угао у слемену крова

Кров викендице на Златибору има две стране са истим нагибом: свака гради угао од 37∘30′37^\circ 30' са водоравном гредом таванице. Колики је угао између две стране крова у слемену, његовој највишој тачки?

Решење

  1. Кроз слеме замислимо водоравну праву pp. Она је паралелна са гредом таванице.
  2. Свака страна крова је трансверзала паралелних правих pp и греде, па са правом pp гради наизменични угао, једнак нагибу: 37∘30′37^\circ 30'.
  3. Та два угла и угао у слемену γ\gamma заједно чине опружен угао на правој pp: 37∘30′+γ+37∘30′=180∘37^\circ 30' + \gamma + 37^\circ 30' = 180^\circ.
  4. 37∘30′+37∘30′=74∘60′=75∘37^\circ 30' + 37^\circ 30' = 74^\circ 60' = 75^\circ, па је γ=180∘−75∘=105∘\gamma = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ.

Одговор: Угао у слемену крова износи 105∘105^\circ.

Задатак за вежбу

Дат је угао α=48∘36′\alpha = 48^\circ 36'. Одредите његов комплемент, суплемент и угао 3α3\alpha и за сваки кажите које је врсте.

Прикажи решење

Комплемент: 90∘−48∘36′=41∘24′90^\circ - 48^\circ 36' = 41^\circ 24', оштар. Суплемент: 180∘−48∘36′=131∘24′180^\circ - 48^\circ 36' = 131^\circ 24', туп. 3α=144∘108′=145∘48′3\alpha = 144^\circ 108' = 145^\circ 48', туп.