Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Комплементни, суплементни, упоредни и унакрсни углови – напредни ниво

Решени сложенији задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

1.Одредити мере комплементних углова α\alpha и β\beta, ако је угао α\alpha три пута већи од угла β\beta.

2.Одредити мере суплементних углова α\alpha и β\beta, ако је угао α\alpha  већи од угла β\beta:

(а) за 36∘{36^\circ }

(б) за 15∘20′{15^\circ }20'

3. Збир два угла који граде праве које се секу износи:

(а) 116∘{116^\circ }

(б) 241∘47′{241^\circ }47'

Одредити све конвексне углове које граде те праве.

4. Ако су α\alpha и β\beta комплементни, а β\beta и γ\gamma суплементни углови, израчунати:

(а) разлику углова γ\gamma и α\alpha

(б) суплементан угао угла γ−α\gamma - \alpha.

5. Одредити мере углова са слике.

106

1.  

α+β=90 \alpha + \beta = 90{\text{ }}
α=3β\alpha = 3\beta
3β+β=90∘3\beta + \beta = {90^ \circ }
4β=90∘4\beta = {90^ \circ }
β=90∘:4\beta = {90^ \circ }:4
β=22∘30′\beta = {22^ \circ }30'
α=3β=3⋅22∘30′=67∘30′\alpha = 3\beta = 3 \cdot {22^ \circ }30' = {67^ \circ }30'

2.Угао α\alpha је  већи од угла β\beta:

(а) за 36∘{36^\circ }

α=β+36∘α+β=180 β+36∘+β=180 2β+36∘=180 2β=180 - 36∘2β=144β=72α=72+36∘α=108\begin{aligned}&\alpha = \beta + {36^ \circ } \\ &\alpha + \beta = 180{\text{ }} \\ &\beta + {36^ \circ } + \beta = 180{\text{ }} \\ &2\beta + {36^ \circ } = 180{\text{ }} \\ &2\beta = 180{\text{ - 3}}{6^ \circ } \\ &2\beta = 144 \\ &\beta = 72 \\ &\alpha = 72 + {\text{3}}{6^ \circ } \\ &\alpha = 108\end{aligned}

(б) за 15∘20′{15^\circ }20'

α=β+15∘20′\alpha = \beta + {15^ \circ }20'
α+β=180 \alpha + \beta = 180{\text{ }}
β+15∘20′+β=180 \beta + {15^ \circ }20' + \beta = 180{\text{ }}
2β+15∘20′=180 2\beta + {15^ \circ }20' = 180{\text{ }}
2β=180 - 15∘20′2\beta = 180{\text{ - }}{15^ \circ }20'
2β=16440′2\beta = 16440'
β=8220′\beta = 8220'
α=8220′+15∘20′\alpha = 8220' + {15^ \circ }20'
α=9740′\alpha = 9740'

3. Збир два угла који граде праве које се секу износи:

(а) 116∘{116^\circ }

524 png

(б) 241∘47′{241^\circ }47'

Одредити све конвексне углове које граде те праве.

4. Ако су α\alpha и β\beta комплементни, а β\beta и γ\gamma суплементни углови, израчунати:

(а) разлику углова γ\gamma и α\alpha

α+β=90 ⇒β = 90∘−αγ+β=180 γ+90∘−α=180 γ−α=90 \begin{aligned}&\alpha + \beta = 90{\text{ }} \Rightarrow \beta {\text{ = }}{90^ \circ } - \alpha \\ &\gamma + \beta = 180{\text{ }} \\ &\gamma + {90^ \circ } - \alpha = 180{\text{ }} \\ &\gamma - \alpha = 90{\text{ }}\end{aligned}

(б) суплементан угао угла γ−α\gamma - \alpha

γ−α+x=180 90∘+x=180 x = 90∘\begin{aligned}&\gamma - \alpha + x = 180{\text{ }} \\ &{90^ \circ } + x = 180{\text{ }} \\ &{\text{x = }}{90^ \circ }\end{aligned}

5.

525 png

У овим задацима углови нису дати, али је дата веза међу њима. Прво запишите основни услов: за комплементне углове α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ, за суплементне и упоредне α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ, за унакрсне α=β\alpha = \beta. Затим преведите текст: „два пута већи“ значи α=2β\alpha = 2\beta, а „већи за 20∘20^\circ“ значи α=β+20∘\alpha = \beta + 20^\circ. Уврстите у збир и решите једначину: из 2β+β=90∘2\beta + \beta = 90^\circ следи β=30∘\beta = 30^\circ и α=60∘\alpha = 60^\circ.

Код две праве које се секу, ако збир два угла није 180∘180^\circ, углови су унакрсни, па је сваки половина збира. Ако су α\alpha и β\beta комплементни, а β\beta и γ\gamma суплементни, увек је γ−α=90∘\gamma - \alpha = 90^\circ.

β = 33°α = 57°O
90°
24°
Мањи угао β
33°
Већи угао α
57°
Први клизач бира да ли делите прав или опружен угао. Кад разлику повећате за 2∘2^\circ, већи угао порасте за 1∘1^\circ, а мањи се смањи за 1∘1^\circ, јер збир остаје исти. Почетно стање је стаза из примера: 33∘33^\circ и 57∘57^\circ.

Пејзажни архитекти и столари тако деле прав или опружен угао на два дела у задатом односу: стаза кроз угао парка, коса летва у углу полице или косо сечене лајсне које заједно морају да затворе угао.

Стаза кроз угао парка

Парк има облик правоугаоника. Из једног његовог угла води права стаза која дели прав угао на два дела, тако да је један део за 24∘24^\circ већи од другог. Колики су ови углови?

Решење

  1. Два дела заједно чине прав угао, па су комплементни: α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ.
  2. Из услова је α=β+24∘\alpha = \beta + 24^\circ. Уврстимо у збир: β+24∘+β=90∘\beta + 24^\circ + \beta = 90^\circ.
  3. 2β=90∘−24∘=66∘2\beta = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ, па је β=33∘\beta = 33^\circ.
  4. α=33∘+24∘=57∘\alpha = 33^\circ + 24^\circ = 57^\circ. Провера: 57∘+33∘=90∘57^\circ + 33^\circ = 90^\circ.

Одговор: Стаза дели угао парка на углове од 57∘57^\circ и 33∘33^\circ.

Задатак за вежбу

Две праве се секу. Збир два од углова које оне граде износи 250∘250^\circ. Колики су сви углови?

Прикажи решење

Збир није 180∘180^\circ, па то нису упоредни, него унакрсни углови: сваки има 250∘:2=125∘250^\circ : 2 = 125^\circ. Друга два угла имају по 180∘−125∘=55∘180^\circ - 125^\circ = 55^\circ.