Међусобни положај две кружнице

Дефиниције и решени задаци.

Посматрамо кружнице $k_1(O_1, r_1)$ и $k_2(O_2, r_2)$ , где је $r_1 > r_2$ . Њихов положај зависи од растојања центара $d = O_1O_2$ , које поредите са збиром и разликом полупречника. Ако је $d > r_1 + r_2$ , кружнице су једна ван друге и немају заједничких тачака. Ако је $d = r_1 + r_2$ , додирују се споља, у једној тачки. Ако је $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ , секу се у две тачке.

Ако је $d = r_1 - r_2$ , додирују се изнутра. Ако је $d < r_1 - r_2$ , мања кружница је унутар веће и не додирује је, а за $d = 0$ кружнице су концентричне. Тачка додира увек лежи на правој кроз оба центра.

Полупречник r₁3 cm

Полупречник r₂2 cm

Растојање центара d: 6 cm
Збир r₁ + r₂: 5 cm
Разлика полупречника: 1 cm

Приближавајте центре: при

d = r_1 + r_2

кружнице се додирују споља, затим се секу, а при

d = r_1 - r_2

додирују се изнутра. Мењајте и полупречнике.

Положај две кружнице одређује да ли се зупчаници у сату или машини хватају, да ли се домети две антене преклапају и колико далеко треба поставити две прскалице да заливају без преклапања.

Два зупчаника

У једном механизму већи зупчаник има полупречник 18 mm, а мањи 12 mm, и они морају да се додирују. Колико треба да буде растојање између њихових осовина ако се додирују споља? А ако мањи зупчаник ради унутар прстена полупречника 18 mm и додирује га изнутра?

Решење

Зупчанике посматрамо као кружнице $k_1(O_1, 18\ \mathrm{mm})$ и $k_2(O_2, 12\ \mathrm{mm})$ ; осовине су центри $O_1$ и $O_2$ .
Додир споља: $d = r_1 + r_2 = 18 + 12 = 30$ mm.
Додир изнутра: $d = r_1 - r_2 = 18 - 12 = 6$ mm.
За свако растојање између 6 mm и 30 mm кружнице би се секле, па би зупчаници ушли један у други и заглавили се.

Одговор: Осовине треба да буду на 30 mm при додиру споља, а на 6 mm при додиру изнутра.

Задатак за вежбу

Кружнице $k_1(O_1, 7\ \mathrm{cm})$ и $k_2(O_2, 3\ \mathrm{cm})$ имају растојање центара 12 cm, 10 cm, 6 cm и 4 cm. Одредите њихов положај у сваком случају.

Прикажи решење

$r_1 + r_2 = 10$ cm и $r_1 - r_2 = 4$ cm. За 12 cm кружнице су једна ван друге, за 10 cm се додирују споља, за 6 cm се секу, а за 4 cm се додирују изнутра.