Прости и сложени бројеви

Дефиниције, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Одреди: а) D(18) б) D(24) в) D(30) г) D(32)

Пр.2) Растави на чиниоце следеће бројеве:

а) 24 б) 36 в) 124 г) 198 д) 528

Пр.3) Производ три узастопна природна броја је: а) 120 б) 336.

Који су то бројеви?

Пр.1) а) $D\left( {18} \right) = \left\{ {1,2,3,6,9,18} \right\}$

б) $D\left( {24} \right) = \left\{ {1,2,3,4,6,8,12,24} \right\}$

в) $D\left( {30} \right) = \left\{ {1,2,3,5,6,10,15,30} \right\}$

г) $D\left( {32} \right) = \left\{ {1,2,4,8,16,32} \right\}$

Пр.2) Растави на чиниоце следеће бројеве:

а) 24 б) 36 в) 124 г) 198 д) 528

531 png

Пр.3) Производ три узастопна природна броја је: а) 120 б) 336.

Који су то бројеви?

532 png

Природан број већи од 1 је прост ако има тачно два делиоца, 1 и самог себе: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Сложен број има више од два делиоца, на пример $D(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ . Број 1 није ни прост ни сложен, а 2 је једини паран прост број.

Сваки сложен број може се раставити на просте чиниоце: делите га редом најмањим простим бројем који га дели, док не дођете до 1. На пример, $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ . Растављање помаже и у задацима са производом узастопних бројева: чиниоце групишете тако да добијете узастопне бројеве. Пазите на бројеве 51, 57 и 91: личе на просте, а нису, јер је $51 = 3 \cdot 17$ , $57 = 3 \cdot 19$ и $91 = 7 \cdot 13$ .

Број n36

Тачака у врсти6

Остатак: 0
Број делилаца броја n: 9

Сложен број тачака може се сложити у пуне врсте на више начина. Прост број стаје у пуне врсте само по 1 или по

n

тачака, зато има тачно два делиоца. Почетних 36 тачака су столице из примера.

Прости бројеви чувају тајност на интернету: многи начини шифровања порука и плаћања картицом заснивају се на томе да је производ два огромна проста броја лако израчунати, а веома тешко раставити на чиниоце.

Столице за приредбу

За школску приредбу треба поређати 36 столица у једнаке редове, тако да буду бар два реда и бар две столице у сваком реду. Колико столица може бити у једном реду? Може ли се исто урадити са 37 столица?

Решење

Број столица у реду мора делити 36: $D(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$ .
Отпадају 1 и 36, јер би тада била по једна столица у реду или само један ред. Остају 2, 3, 4, 6, 9, 12 и 18.
36 је сложен број, $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ , па има много распореда.
37 је прост број: дели се само са 1 и са 37, па се 37 столица може поређати само у један ред или у једну колону.

Одговор: У реду може бити 2, 3, 4, 6, 9, 12 или 18 столица, а 37 столица не може се тако поређати, јер је 37 прост број.

Задатак за вежбу

Производ три узастопна природна броја је 210. Који су то бројеви?

Прикажи решење

$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ . Групишемо чиниоце: $2 \cdot 3 = 6$ , па је $210 = 5 \cdot 6 \cdot 7$ . То су бројеви 5, 6 и 7.