Дељивост бројевима 3 и 9

Особине, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Испитати да ли је тачно:

а) $3|258$

б) $3|4471$

в) $3|2012$

г) $3|587961$

Пр.2) Испитати да ли је тачно:

а) $9|288$

б) $9|5789$

в) $9|9252$

г) $9|727172$

Пр.3) Уместо $*$ ставити одговарајуће цифре тако да се добије тачно тврђење:

а) $3|254 * 8$

б) $9|4 * 4442$

в) $9|1 * 4785$

г) $3|14 * 5$

Пр.1) Испитати да ли је тачно:

а) $3|258$ тачно

б) $3|4471$ није тачно

в) $3|2012$ није тачно

г) $3|587961$ тачно

Пр.2) Испитати да ли је тачно:

а) $9|288$ тачно

б) $9|5789$ није тачно

в) $9|9252$ тачно

г) $9|727172$ није тачно

Пр.3) Уместо $*$ ставити одговарајуће цифре тако да се добије тачно тврђење:

а) $3|254 * 8$ $* \in \left\{ {2,5,8,} \right\}$

б) $9|4 * 4442$ $* \in \left\{ {0,9} \right\}$

в) $9|1 * 4785$ $* \in \left\{ {2} \right\}$

г) $3|14 * 5$ $* \in \left\{ {2,5,8} \right\}$

Број је дељив са 3 ако му је збир цифара дељив са 3, а дељив са 9 ако му је збир цифара дељив са 9. На пример, 5214 има збир цифара $5 + 2 + 1 + 4 = 12$ , па је дељив са 3, а није са 9. Правило важи зато што су 10, 100, 1000… за један већи од бројева 9, 99, 999…, па број при дељењу са 3 и са 9 даје исти остатак као његов збир цифара.

Сваки број дељив са 9 дељив је и са 3, а обрнуто не мора да важи. Кад тражите цифру уместо $*$ , саберите познате цифре и допуните збир до садржаоца броја 3 или 9. Честа грешка је да се гледа последња цифра, као код 2 и 5.

Цифра стотина7

Цифра десетица4

Цифра јединица1

Делилац3

Број: 741
Збир цифара: 12
Остатак броја: 0
Остатак збира цифара: 0

Тачака има онолико колики је збир цифара. Кад се оне сложе у пуне врсте по 3 (или по 9), број је дељив са 3 (или са 9), а тачке које претекну показују остатак самог броја.

Збир цифара је брза провера кад рачун треба поделити на троје или деветоро и кад робу слажете у кутије по 3 или по 9, а на истом правилу заснива се и проба деветком, стари начин провере множења.

Рачун за троје

Троје другара добило је у пицерији рачун од 2847 динара. Може ли се рачун поделити на троје, тако да свако плати исти цео број динара? А на деветоро, да је за столом било деветоро другара?

Решење

Збир цифара броја 2847 је $2 + 8 + 4 + 7 = 21$ .
21 је дељиво са 3, па $3 \mid 2847$ : свако од троје плаћа $2847 : 3 = 949$ динара.
21 није дељиво са 9 (остатак је 3), па ни 2847 није дељиво са 9: на деветоро се рачун не би могао поделити на једнаке износе у целим динарима.

Одговор: Рачун се може поделити на троје, по 949 динара, а на деветоро не може, ако свако плаћа исти цео број динара.

Задатак за вежбу

Које цифре можете ставити уместо $*$ тако да важи $9 \mid 37*5$ , а које тако да важи $3 \mid 37*5$ ?

Прикажи решење

Збир познатих цифара је $3 + 7 + 5 = 15$ . За 9 збир мора бити 18, па је $* = 3$ . За 3 збир може бити 15, 18, 21 или 24, па је $* \in \{0, 3, 6, 9\}$ .