Графици тригонометријских функција 1

Графици тригонометријских функција. Синус и косинус. Једноставни примери.

График функције y=sin⁡xy = \sin x је синусоида: функција је дефинисана за свако xx, скуп вредности јој је [−1,1][-1, 1], а основни период 2π2\pi. Нуле су x=kπx = k\pi, највећу вредност 1 функција има у x=π2+2kπx = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, а најмању −1-1 у x=3π2+2kπx = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}. График функције y=cos⁡xy = \cos x је иста крива померена улево за π2\frac{\pi}{2}, јер је cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right); нуле косинуса су x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi.

Код y=Asin⁡(bx)y = A\sin(bx) број ∣A∣|A| је амплитуда, па је скуп вредности [−∣A∣,∣A∣][-|A|, |A|], а период је 2π∣b∣\frac{2\pi}{|b|}. Честа грешка: y=sin⁡2xy = \sin 2x има период π\pi, а не 4π4\pi, јер се график по оси xx сабија.

1,573,144,716,28−3−2−11230xyy = sin xy = A sin bx
2
2
Амплитуда |A|
2
Период 2π/b
3,142
Клизач AA растеже синусоиду усправно и одређује скуп вредности [−∣A∣,∣A∣][-|A|, |A|], а клизач bb је сабија или растеже по оси xx, па је период 2πb\frac{2\pi}{b}. Испрекидана крива је y=sin⁡xy = \sin x, а ознаке на оси xx су умношци π2≈1,57\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57.

Синус и косинус описују све што се правилно понавља: наизменичну струју у мрежи, звучне таласе, њихање клатна и кретање клипа у мотору. Електротехничари из графика читају амплитуду и период напона.

Напон у утичници

Напон у кућној електричној мрежи мења се по закону u=325sin⁡(100πt)u = 325\sin(100\pi t), где је uu напон у волтима, а tt време у секундама. Одредите највећи напон, период и број пуних осцилација у једној секунди. У ком тренутку напон први пут достиже највећу вредност?

Решење

  1. Функција је облика y=Asin⁡(bx)y = A\sin(bx) са A=325A = 325 и b=100πb = 100\pi. Највећа вредност синуса је 1, па је највећи напон 325 V, а најмањи −325-325 V.
  2. Период је T=2πb=2π100π=0,02T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02 s, односно 20 ms.
  3. У једној секунди стаје 10,02=50\frac{1}{0{,}02} = 50 периода: то је фреквенција мреже од 50 Hz.
  4. Синус први пут достиже 1 кад је аргумент π2\frac{\pi}{2}: из 100πt=π2100\pi t = \frac{\pi}{2} следи t=1200=0,005t = \frac{1}{200} = 0{,}005 s.

Одговор: Највећи напон је 325 V, период 0,02 s (50 осцилација у секунди), а први максимум наступа после 5 ms.

Задатак за вежбу

Одредите скуп вредности, период и нуле функције y=3cos⁡2xy = 3\cos 2x, као и тачке у којима она достиже максимум.

Прикажи решење

Скуп вредности је [−3,3][-3, 3], а период 2π2=π\frac{2\pi}{2} = \pi. Нуле: 2x=π2+kπ2x = \frac{\pi}{2} + k\pi, па x=π4+kπ2x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}. Максимум 3 је за 2x=2kπ2x = 2k\pi, односно x=kπx = k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.