Квадратна једначина – биквадратна једначина

Решавање биквадратне једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1) Реши следећу биквадратну једначину:

${x^4} - 13{x^2} + 36 = 0$

пр.2) Реши биномну једначину:

${x^3} = 27$

пр.3) Решити следећу једначину:

${x^4} = 16$

Пр.1

$\begin{aligned}&{x^4} - 13{x^2} + 36 = 0 \\ &{\left( {{x^2}} \right)^2} - 13{x^2} + 36 = 0 \\ &смена:{x^2} = t \\ &{t^2} - 13t + 36 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{13 \pm \sqrt {169 - 144} }}{2} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{13 \pm 5}}{2} \\ &{t_1} = 4,{t_2} = 9 \\ &{x^2} = 4,{x^2} = 9 \\ &{x_{1,2}} = \pm \sqrt 4 ,{x_{3,4}} = \pm \sqrt 9 \\ &x = \left\{ { - 3; - 2;2;3} \right\}\end{aligned}$

Пр. 2

$\begin{aligned}&{x^3} = 27 \\ &{x^3} - 27 = 0 \\ &\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) = 0 \\ &x - 3 = 0 \vee {x^2} + 3x + 9 = 0 \\ &{x_1} = 3 \\ &{x_{2,3}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {9 - 36} }}{2} \\ &{x_{2,3}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt { - 27} }}{2} \\ &{x_{2,3}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt { - 1 \cdot 9 \cdot 3} }}{2} \\ &{x_{2,3}} = \frac{{ - 3 \pm 3i\sqrt 3 }}{2}\end{aligned}$

Пр.3

$\begin{aligned}&{x^4} = 16 \\ &{x^4} - 16 = 0 \\ &{x^4} - {2^4} = 0 \\ &{\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {{2^2}} \right)^2} = 0 \\ &\left( {{x^2} - {2^2}} \right)\left( {{x^2} + {2^2}} \right) = 0 \\ &\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + {2^2}} \right) = 0 \\ &x - 2 = 0 \vee x + 2 = 0 \vee {x^2} + {2^2} = 0 \\ &{x_1} = 2 \\ &{x_2} = - 2 \\ &{x^2} + {2^2} = 0 \\ &{x^2} = - 4 \\ &{x_{3,4}} = \pm \sqrt { - 4} \\ &{x_{3,4}} = \pm 2i\end{aligned}$

Биквадратна једначина има облик $ax^4 + bx^2 + c = 0$ . Сменом $x^2 = t$ постаје квадратна, $at^2 + bt + c = 0$ . Затим се враћате на $x$ : сваком решењу $t > 0$ одговарају два реална решења $x = \pm\sqrt{t}$ , решењу $t = 0$ решење $x = 0$ , а решењу $t < 0$ два комплексна, $x = \pm i\sqrt{-t}$ . Зато биквадратна једначина има највише четири реална решења, а њена реална решења су симетрична у односу на нулу. Биномне једначине, као $x^3 = 8$ или $x^4 = 81$ , решавате растављањем на чиниоце: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ и $x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$ . Честа грешка је стати код $t$ и не вратити смену, или одбацити $t < 0$ кад се траже и комплексна решења.

p−5

q4

t₁: 4
t₂: 1

График функције

y = x^4 + px^2 + q

симетричан је у односу на осу

y

, па нуле долазе у паровима

\pm\sqrt{t}

. Свако позитивно решење

t

једначине

t^2 + pt + q = 0

даје две нуле, а негативно ниједну реалну.

Биквадратна једначина се добија кад су познати дијагонала и површина правоугаоника, на пример екрана или плаца. Инжењери до ње долазе и кад рачунају фреквенције осциловања система од две масе спојене опругама.

Башта са дијагоналном стазом

Правоугаона башта у Сремској Каменици има површину 60 m², а стаза која је сече дијагонално дуга је 13 m. Колике су странице баште?

Решење

Нека су странице $a$ и $b$ . Из површине је $ab = 60$ , а по Питагориној теореми $a^2 + b^2 = 13^2 = 169$ .
Из прве једначине $b = \frac{60}{a}$ , па је $a^2 + \frac{3600}{a^2} = 169$ . Множењем са $a^2$ добијамо $a^4 - 169a^2 + 3600 = 0$ .
Смена $a^2 = t$ : $t^2 - 169t + 3600 = 0$ , $D = 28\,561 - 14\,400 = 14\,161 = 119^2$ , па је $t = \frac{169 \pm 119}{2}$ , тј. $t_1 = 144$ и $t_2 = 25$ .
Враћамо смену: $a^2 = 144$ или $a^2 = 25$ . Дужина је позитивна, па је $a = 12$ или $a = 5$ , а тада је $b = 5$ , односно $b = 12$ .

Одговор: Башта има странице 12 m и 5 m.

Задатак за вежбу

Решите једначину $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$ .

Прикажи решење

Смена $x^2 = t$ : $t^2 - 5t - 36 = 0$ , $t_1 = 9$ , $t_2 = -4$ . Из $x^2 = 9$ следи $x = \pm 3$ , а из $x^2 = -4$ следи $x = \pm 2i$ .