Квадратна неједначина 4

Квадратна неједначина са апсолутном вредношћу. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.9) Решити следећу неједначину:

$\frac{{\left| {2x - 3} \right| + x}}{{{x^2} - 3x + 2}} \leqslant 1$

Неједначину са апсолутном вредношћу решавате по случајевима. Нађите нулу израза под апсолутном вредношћу и поделите бројевну праву на два дела: где је израз ненегативан, $|A| = A$ , а где је негативан, $|A| = -A$ . У сваком делу решите обичну, квадратну или разломљену неједначину и решење пресеците са условом тог случаја. Коначно решење је унија решења оба случаја. За облик $|f(x)| \leqslant d$ можете одмах писати $-d \leqslant f(x) \leqslant d$ , а за $|f(x)| \geqslant d$ две неједначине: $f(x) \leqslant -d$ или $f(x) \geqslant d$ . Код разломака не заборавите нуле имениоца. Честа грешка је задржати решење које не припада свом случају.

Висина камере25 m

Толеранција5 m

Први улаз: 1 s
Први излаз: 2 s
Други улаз: 3 s
Други излаз: 4 s

Пуна крива је одступање

|h(t) - H|

, а испрекидана

h(t) - H

: апсолутна вредност пресавија негативни део навише. Ракета је у кадру док је пуна крива испод праве

y = d

: то су два зелена интервала на оси

t

.

Апсолутна вредност мери одступање од циља, па се овако одређују временски интервали и толеранције: када је висина, температура или притисак довољно близу задате вредности.

Камера на тераси

Ученици са тла лансирају водену ракету направљену од пластичне флаше брзином 25 m/s, па је њена висина после $t$ секунди $h(t) = 25t - 5t^2$ метара. Камера на тераси зграде, на висини 25 m, снима ракету док је највише 5 m изнад или испод нивоа терасе. У ком периоду је ракета у кадру?

Решење

Услов је $|h(t) - 25| \leqslant 5$ , односно $-5 \leqslant 25t - 5t^2 - 25 \leqslant 5$ , што је исто што и $20 \leqslant 25t - 5t^2 \leqslant 30$ .
Лева неједначина: $5t^2 - 25t + 20 \leqslant 0$ , тј. $t^2 - 5t + 4 \leqslant 0$ , па је $1 \leqslant t \leqslant 4$ .
Десна неједначина: $5t^2 - 25t + 30 \geqslant 0$ , тј. $t^2 - 5t + 6 \geqslant 0$ , па је $t \leqslant 2$ или $t \geqslant 3$ .
Пресек: $t \in [1, 2] \cup [3, 4]$ . Између 2. и 3. секунде ракета је више од 5 m изнад терасе (највише се подигне на 31,25 m).

Одговор: Ракета је у кадру од 1. до 2. секунде, док се пење, и од 3. до 4. секунде, док пада.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $x^2 - 3|x - 1| - 1 \leqslant 0$ .

Прикажи решење

За $x \geqslant 1$ : $x^2 - 3x + 2 \leqslant 0$ , тј. $x \in [1, 2]$ . За $x < 1$ : $x^2 + 3x - 4 \leqslant 0$ , тј. $x \in [-4, 1]$ , а уз услов случаја $x \in [-4, 1)$ . Унија је $x \in [-4, 2]$ .