Квадратна неједначина 2

Квадратна неједначина. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1) Решити квадратну неједначину:

${x^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} \leqslant {\left( {x - 2} \right)^2}$

пр.2) Решити следећу квадратну неједначину:

$\frac{{2x - 3}}{{x + 5}} \geqslant 1$

пр.3) Решити следећу квадратну неједачину:

$\frac{{{x^2} - 4}}{{4x - {x^2}}} \geqslant 0$

Пр.1

$\begin{aligned}&{x^2} - {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^2} \\ &{x^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2}0 \\ &{x^2} - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)^2}0 \\ &{x^2} - {x^2} - 2x - 1 - {x^2} + 4x - 40 \\ &- {x^2} + 2x - 5 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 - 20} }}{{ - 2}} - \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt { - 16} }}{{ - 2}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt { - 16} }}{{ - 2}}\end{aligned}$

Под кореном имамо негативан броj. Тада квадратна неједначина нема реалних решења, значи да функциjа нема пресека са x-осом.

a=-1<0 онда је парабола окренута на доле. Онда је наша функциjа свуда негативна.

$\forall x \in R$

Пр.2

$\begin{aligned}&\frac{{2x - 3}}{{x + 5}}1 \\ &\frac{{2x - 3}}{{x + 5}} - 10 \\ &\frac{{2x - 3 - \left( {x + 5} \right)}}{{x + 5}}0 \\ &\frac{{2x - 3 - x - 5}}{{x + 5}}0 \\ &\frac{{x - 8}}{{x + 5}}0\end{aligned}$

Ово решавамо табличним методом $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \\ 1&1&3&4 \\\hline \\ 5&6&7&8 \\\hline \\ 9&10&11&12 \\\hline \\ 13&14&15&16 \\\hline \\ \end{array}$ Пр.3

Сложенију неједначину прво сведите на облик у ком је на десној страни нула: пребаците све чланове на леву страну, ослободите се заграда и средите. Ако добијете квадратни трином, решавате је као обичну квадратну неједначину. Код разломљене неједначине $\frac{P(x)}{Q(x)} \geqslant k$ не множите имениоцем, јер му не знате знак. Одузмите $k$ , сведите на заједнички именилац и добијате $\frac{A(x)}{B(x)} \geqslant 0$ . Затим у табели знакова уцртајте нуле бројиоца и имениоца и одредите знак сваког чиниоца на сваком интервалу. Нуле бројиоца улазе у решење код $\geqslant$ и $\leqslant$ , а нуле имениоца никад, јер ту израз није дефинисан.

Жељена цена1000 дин.

Граница: 30 ком.
Најмање мајица: 30

Крива је просечна цена мајице,

\frac{3000 + 900x}{x}

. Решења неједначине су

x

за која је крива испод праве. Што је жељена цена нижа, то више мајица треба наручити, а цена од 900 динара или мање није достижна ни за једну количину.

Разломљене неједначине одговарају на питање колико комада треба наручити да просечна цена по комаду падне испод жељеног износа, кад постоји фиксни трошак припреме, као код штампе, израде калупа или превоза.

Мајице за кошаркашки клуб

Штампарија за израду шаблона наплаћује 3.000 динара, а свака мајица са штампом кошта 900 динара. Колико мајица кошаркашки клуб треба да наручи да би просечна цена једне мајице била највише 1.000 динара?

Решење

За $x$ мајица просечна цена је $\frac{3000 + 900x}{x}$ , па решавамо $\frac{3000 + 900x}{x} \leqslant 1000$ .
Не множимо са $x$ , него одузмемо 1000: $\frac{3000 + 900x - 1000x}{x} \leqslant 0$ , односно $\frac{3000 - 100x}{x} \leqslant 0$ .
Бројилац је нула за $x = 30$ (позитиван лево од 30, негативан десно), а именилац за $x = 0$ . Табела знакова даје $x < 0$ или $x \geqslant 30$ .
Број мајица је природан број, па остаје $x \geqslant 30$ . Провера: $\frac{3000 + 900 \cdot 30}{30} = \frac{30\,000}{30} = 1000$ .

Одговор: Клуб треба да наручи најмање 30 мајица.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $\frac{x - 3}{x + 2} \leqslant 2$ .

Прикажи решење

$\frac{x - 3 - 2(x + 2)}{x + 2} \leqslant 0$ , тј. $\frac{-x - 7}{x + 2} \leqslant 0$ , односно $\frac{x + 7}{x + 2} \geqslant 0$ . Табела знакова даје $x \in (-\infty, -7] \cup (-2, +\infty)$ .