Тригонометријске функције полуугла 2

Тригонометријске функције полуугла. Примена на сложеније примере.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3) Израчунати $\cos \frac{\alpha }{2}$ уколико знамо да је $tg\alpha = \frac{3}{4}$ и $\alpha \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ .

Пр.4) Упростити следећи израз $\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} \cdot t{g^2}\frac{\alpha }{2} - {\cos ^2}\alpha$

Пр.5) Доказати следећи идентитет $\frac{{\sin 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }} \cdot \frac{{\cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = tg\frac{\alpha }{2}$

Пр.3) Израчунати $\cos \frac{\alpha }{2}$ уколико знамо да је $tg\alpha = \frac{3}{4}$ и $\alpha \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ .

Знамо да је $\alpha \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ онда можемо да рећи да је $\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$

Имамо формулу

Пр.4) Упростити следећи израз $\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} \cdot t{g^2}\frac{\alpha }{2} - {\cos ^2}\alpha$

Пр.5) Доказати следећи идентитет $\frac{{\sin 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }} \cdot \frac{{\cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = tg\frac{\alpha }{2}$

У сложенијим задацима са полууглом поступак има три корака. Прво из датих података, помоћу основних идентитета, израчунајте $\cos \alpha$ . Затим одредите у ком је квадранту угао $\frac{\alpha}{2}$ , јер он одређује знак резултата. На крају примените формулу полуугла. На пример, ако је $\operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4}$ и $\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ , онда је $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ , а $\frac{\alpha}{2} \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)$ је у другом квадранту, па је $\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Код упрошћавања израза користите $\operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$ и $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$ , а двоструке углове изразите преко $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$ и $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ . Честа грешка је да се знак одреди према квадранту угла $\alpha$ , а не полуугла.

cos α (видни угао)0,6

Видни угао α: 53,1°
tg (α/2): 0,5
Ширина кадра s: 6 m

Ширина кадра је

s = 12\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}

, а

\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}

. За

\cos \alpha = 0{,}6

, угао од око

53^\circ

, је

\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 0{,}5

и камера види тачно 6 m зида. Што је

\cos \alpha

мањи, видни угао је шири.

Произвођачи камера и фотографи видно поље објектива задају углом $\alpha$ , а ширину кадра на растојању $d$ рачунају као $2d \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$ .

Сигурносна камера

Сигурносна камера у продавници у Крагујевцу има видни угао $\alpha$ за који је $\cos \alpha = 0{,}6$ , што је око $53^\circ$ . Постављена је наспрам зида удаљеног 6 m и усмерена тачно ка његовој средини. Колико је широк део зида који камера снима?

Решење

Ивице видног поља и права до средине зида граде два подударна правоугла троугла са углом $\frac{\alpha}{2}$ код камере, па је ширина $s = 2 \cdot 6 \cdot \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$ .
Угао $\frac{\alpha}{2}$ је оштар, па је $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \sqrt{\frac{0{,}4}{1{,}6}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ .
$s = 12 \cdot 0{,}5 = 6$ m.

Одговор: Камера снима део зида широк 6 m.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\sin \frac{\alpha}{2}$ и $\cos \frac{\alpha}{2}$ ако је $\cos \alpha = \frac{7}{25}$ и $\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ .

Прикажи решење

$\frac{\alpha}{2} \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)$ , у другом квадранту, па је $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{7}{25}}{2}} = \frac{3}{5}$ и $\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{7}{25}}{2}} = -\frac{4}{5}$ .