Логаритамске једначине 2

Логаритми. Логаритамске једначине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску једначину.

пр.4) ${\log _2} {\log _2}x = {\log _2}3 + {\log _2}4$

пр.5) $2{\left( {{{\log }_x}\sqrt 5 } \right)^2} - 3{\log _x}\sqrt 5 + 1 = 0$

пр.6) ${\log _x}2 - {\log _4}x + \frac{7}{6} = 0$

Пр.4

$\begin{aligned}&{\log _2}{\log _2}x = {\log _2}3 + {\log _2}4 \\ &x > 0,{\log _2}x > 0 \\ &{\log _2}{\log _2}x = {\log _2}3 \cdot 4 \\ &{\log _2}x = 12 \\ &x = {2^{12}}\end{aligned}$

Пр.5

$\begin{aligned}&2{\left( {{{\log }_x}\sqrt 5 } \right)^2} - 3{\log _x}\sqrt 5 + 1 = 0 \\ &x > 0,x \ne 1 \\ &смена:{\log _x}\sqrt 5 = t \\ &2{t^2} - 3t + 1 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{3 \pm \sqrt {9 - 8} }}{4} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{3 \pm 1}}{4} \\ &{t_1} = \frac{1}{2},{t_2} = 1 \\ & \\ &{\log _x}\sqrt 5 = \frac{1}{2} \\ &{x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 5 \\ &x = 5 \\ &{\log _x}\sqrt 5 = 1 \\ &{x^1} = \sqrt 5 \\ &x = \sqrt 5\end{aligned}$

Пр.6

$\begin{aligned}&{\log _x}2 - {\log _4}x + \frac{7}{6} = 0 \\ &x > 0,x \ne 1 \\ &\frac{1}{{{{\log }_2}x}} - {\log _{{2^2}}}x + \frac{7}{6} = 0 \\ &\frac{1}{{{{\log }_2}x}} - \frac{1}{2}{\log _2}x + \frac{7}{6} = 0 \\ &смена:{\log _2}x = t \\ &\frac{1}{t} - \frac{1}{2}t + \frac{7}{6} = 0\left| { \cdot 6} \right.t \\ &- 3{t^2} + 7t + 6 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {49 + 72} }}{{ - 6}} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm 11}}{{ - 6}} \\ &{t_1} = 3,{t_2} = - \frac{2}{3} \\ & \\ &{\log _2}x = 3 \\ &x = {2^3} \\ &x = 8 \\ &{\log _2}x = - \frac{2}{3} \\ &x = {2^{ - \frac{2}{3}x}} \\ &x = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{4}}}\end{aligned}$

Кад се логаритам у једначини јавља на квадрат или у имениоцу, уведите смену $t = \log_a x$ и решите добијену квадратну једначину по $t$ . Ако има логаритама различитих основа, прво их сведите на исту основу: $\log_x a = \frac{1}{\log_a x}$ и $\log_{a^k} x = \frac{1}{k}\log_a x$ . Сваки корен $t$ враћате у смену, $x = a^t$ ; корен $t$ може бити и негативан, и тада је $0 < x < 1$ .

Пре решавања запишите услове ( $x > 0$ , а за $x$ у основи и $x \ne 1$ ), па решења на крају проверите. Збир логаритама исте основе спојите у логаритам производа: из $\log_2 \log_2 x = \log_2 12$ следи $\log_2 x = 12$ . Кад једначину множите са $t$ , додајте услов $t \ne 0$ .

Коефицијент p−1

Коефицијент q−6

t₁: 3
t₂: −2
x₁: 8
x₂: 0,25

После смене

t = \log_2 x

једначина гласи

t^2 + pt + q = 0

. Сваком корену

t

одговара тачно једна тачка графика,

x = 2^t

, па и негативан корен даје решење, између 0 и 1.

Програмери брзину алгоритама процењују бројем корака, који код претраге и сортирања често зависи од $\log_2 n$ , где је $n$ број података; кад траже за коју величину улаза су два програма подједнако брза, решавају логаритамску једначину.

Два алгоритма

Програмер у Нишу упоређује два програма за претрагу базе од $n$ записа. Мерењем је утврдио да се њихово време рада у микросекундама добро описује изразима $(\log_2 n)^2$ за први и $6\log_2 n + 16$ за други програм. За колико записа оба програма раде једнако дуго?

Решење

Услов је $n > 0$ , а пошто је $n$ број записа, тражимо природан број.
Изједначимо времена и уведимо смену $t = \log_2 n$ : $t^2 = 6t + 16$ , тј. $t^2 - 6t - 16 = 0$ .
$t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}$ , па је $t_1 = 8$ и $t_2 = -2$ .
Враћамо смену: $n = 2^8 = 256$ или $n = 2^{-2} = \frac{1}{4}$ , а $\frac{1}{4}$ није број записа.
Провера: за $n = 256$ први програм ради $8^2 = 64$ микросекунде, а други $6 \cdot 8 + 16 = 64$ микросекунде.

Одговор: За базу од 256 записа оба програма раде по 64 микросекунде; за веће базе бржи је други програм.

Задатак за вежбу

Решите једначину $\log_3 x + 2\log_x 3 = 3$ .

Прикажи решење

Услови: $x > 0$ , $x \ne 1$ . Смена $t = \log_3 x$ и $\log_x 3 = \frac{1}{t}$ дају $t + \frac{2}{t} = 3$ , тј. $t^2 - 3t + 2 = 0$ , па је $t = 1$ или $t = 2$ , односно $x = 3$ или $x = 9$ .