Експоненцијалне неједначине 4

Решавање експоненцијалне неједначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијалну неједначину.

пр.10)

9 \cdot {16^x} + 4 \cdot {81^x} < 13 \cdot {36^x}

пр.11)

{x^{x - 3}} < 1

Хомогену неједначину, у којој су сви чланови облика $a^{2x}$ , $(ab)^x$ и $b^{2x}$ , поделите са $b^{2x}$ . Тај израз је позитиван, па знак остаје, а добијате $\left(\frac{a}{b}\right)^{2x}$ и $\left(\frac{a}{b}\right)^x$ . Сменом $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x > 0$ настаје квадратна неједначина по $t$ . Њено решење, на пример $t_1 < t < t_2$ , вратите у $x$ , пазећи на основу: ако је $\frac{a}{b} < 1$ , функција опада и неједнакости се окрећу. Неједначина са непознатом у основи, $x^{f(x)} < 1$ , има смисла за $x > 0$ : за $x > 1$ тражите $f(x) < 0$ , за $0 < x < 1$ тражите $f(x) > 0$ , а $x = 1$ проверите посебно. Честа грешка је изгубити случај $0 < x < 1$ .

Константа k64

Пресек n: 6
Време тада: 4096 μs

Плава крива је време првог решења (

4^n

), љубичаста другог (

k \cdot 2^n

). Прво решење је брже лево од пресека, где је

2^n = k

. Што је константа

k

већа, то дуже прво решење остаје брже.

Програмери овако пореде алгоритме чије време расте експоненцијално: дељењем истим степеном виде за које величине улаза је један алгоритам бржи од другог.

Два решења истог задатка

Ученица на такмичењу из програмирања има два решења истог задатка. Прво траје $4^n$ микросекунди, а друго $64 \cdot 2^n$ микросекунди, где је $n$ број елемената на улазу. За које $n$ је прво решење брже?

Решење

Тражимо $n$ за које је $4^n < 64 \cdot 2^n$ .
Делимо са $2^n > 0$ и знак остаје. Пошто је $\frac{4^n}{2^n} = 2^n$ , добијамо $2^n < 64$ .
Пошто је $64 = 2^6$ , а основа 2 је већа од 1, следи $n < 6$ .
Провера: за $n = 5$ је $1024 < 2048$ , за $n = 6$ оба решења трају 4096 микросекунди, а за $n = 7$ је $16\,384 > 8192$ .

Одговор: Прво решење је брже за највише 5 елемената, за 6 елемената су једнако брза, а за више од 6 брже је друго.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $6 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 6 \cdot 4^x < 0$ .

Прикажи решење

Делимо са $4^x$ и уводимо $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$ : $6t^2 - 13t + 6 < 0$ , па је $\frac{2}{3} < t < \frac{3}{2}$ . Одатле је $\left(\frac{3}{2}\right)^{-1} < \left(\frac{3}{2}\right)^x < \left(\frac{3}{2}\right)^1$ , тј. $-1 < x < 1$ .