Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Логаритми 2

Логаритми. Дефиниција, особине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.2)   Логаритмовати израз:

            A=xxyxy3A = \frac{{\sqrt {x\sqrt {xy} } }}{{\sqrt[3]{{xy}}}}

пр.3)   Одредити x=?x = ?, ако је

            logx⁡=12(loga⁡−logb⁡+13(logc⁡−12log⁡d))\operatorname{logx} = \frac{1}{2}\left( {\operatorname{loga} - \operatorname{logb} + \frac{1}{3}\left( {\operatorname{logc} - \frac{1}{2}\log d} \right)} \right)

Пр. 2

log⁡A=log⁡xxyxy3=log⁡xxy−log⁡xy3==log⁡(xxy)12−log⁡(xy)13=12log⁡xxy−13log⁡xy==12(log⁡x+log⁡(xy)12)−13(log⁡x+log⁡y)==12(log⁡x+12log⁡(xy))−13(log⁡x+log⁡y)==12(log⁡x+12(logx⁡+logy))−13(log⁡x+log⁡y)==12log⁡x+14logx⁡+14logy−13log⁡x−13log⁡y==(12+14−13)log⁡x+(14−13)log⁡y=512log⁡x−112log⁡y\begin{aligned}&\log A = \log \frac{{\sqrt {x\sqrt {xy} } }}{{\sqrt[3]{{xy}}}} = \log \sqrt {x\sqrt {xy} } - \log \sqrt[3]{{xy}} = \\ &= \log {\left( {x\sqrt {xy} } \right)^{\frac{1}{2}}} - \log {\left( {xy} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\log x\sqrt {xy} - \frac{1}{3}\log xy = \\ &= \frac{1}{2}\left( {\log x + \log {{\left( {xy} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right) - \frac{1}{3}\left( {\log x + \log y} \right) = \\ &= \frac{1}{2}\left( {\log x + \frac{1}{2}\log \left( {xy} \right)} \right) - \frac{1}{3}\left( {\log x + \log y} \right) = \\ &= \frac{1}{2}\left( {\log x + \frac{1}{2}\left( {\operatorname{logx} + logy} \right)} \right) - \frac{1}{3}\left( {\log x + \log y} \right) = \\ &= \frac{1}{2}\log x + \frac{1}{4}\operatorname{logx} + \frac{1}{4}logy - \frac{1}{3}\log x - \frac{1}{3}\log y = \\ &= \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}} \right)\log x + \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{3}} \right)\log y = \frac{5}{{12}}\log x - \frac{1}{{12}}\log y\end{aligned}

Пр. 3

logx⁡=12(loga⁡−logb⁡+13(logc⁡−12log⁡d))==12(loga⁡−logb⁡+13(logc⁡−log⁡d))==12(loga⁡−logb⁡+13(log⁡cd))==12(loga⁡−logb⁡+(log⁡cd3))==12(log⁡ab+(log⁡cd3))==12(log⁡ab⋅cd3)=log⁡ab⋅cd3log⁡x=log⁡ab⋅cd3\begin{aligned}&\operatorname{logx} = \frac{1}{2}\left( {\operatorname{loga} - \operatorname{logb} + \frac{1}{3}\left( {\operatorname{logc} - \frac{1}{2}\log d} \right)} \right) = \\ &= \frac{1}{2}\left( {\operatorname{loga} - \operatorname{logb} + \frac{1}{3}\left( {\operatorname{logc} - \log \sqrt d } \right)} \right) = \\ &= \frac{1}{2}\left( {\operatorname{loga} - \operatorname{logb} + \frac{1}{3}\left( {\log \frac{c}{{\sqrt d }}} \right)} \right) = \\ &= \frac{1}{2}\left( {\operatorname{loga} - \operatorname{logb} + \left( {\log \sqrt[3]{{\frac{c}{{\sqrt d }}}}} \right)} \right) = \\ &= \frac{1}{2}\left( {\log \frac{a}{b} + \left( {\log \sqrt[3]{{\frac{c}{{\sqrt d }}}}} \right)} \right) = \\ &= \frac{1}{2}\left( {\log \frac{a}{b} \cdot \sqrt[3]{{\frac{c}{{\sqrt d }}}}} \right) = \log \sqrt {\frac{a}{b} \cdot \sqrt[3]{{\frac{c}{{\sqrt d }}}}} \\ &\log x = \log \sqrt {\frac{a}{b} \cdot \sqrt[3]{{\frac{c}{{\sqrt d }}}}}\end{aligned}

Ако log⁡a=log⁡b,\log a = \log b, то а=b.

Онда 

x=ab⋅cd3x = \sqrt {\frac{a}{b} \cdot \sqrt[3]{{\frac{c}{{\sqrt d }}}}}

Логаритмовати израз значи изразити његов логаритам преко логаритама делова израза. Пре тога израз средите тако да се јасно виде производи, количници и степени. Користите три правила: log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log (xy) = \log x + \log y, log⁡xy=log⁡x−log⁡y\log \frac{x}{y} = \log x - \log y и log⁡xn=nlog⁡x\log x^n = n \log x, а сваки корен напишите као степен, xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}. Код угнежђених корена радите споља ка унутра. Тако је log⁡x2yz=2log⁡x+12log⁡y−log⁡z\log \frac{x^2\sqrt{y}}{z} = 2\log x + \frac{1}{2}\log y - \log z.

Обрнути задатак, антилогаритмовање, решавате истим правилима уназад: коефицијент враћате у изложилац, збир спајате у производ, а разлику у количник, док на десној страни не остане један логаритам, log⁡x=log⁡A\log x = \log A. Тада је x=Ax = A. Пазите: правила важе само за позитивне бројеве, а log⁡x⋅log⁡y\log x \cdot \log y није log⁡(xy)\log (xy).

481216200,40,81,2xyy = log xaba·b
2
4
log a
0,301
log b
0,602
log a + log b
0,903
log (a·b)
0,903
Висина тачке a⋅ba \cdot b на графику y=log⁡xy = \log x увек је збир висина тачака aa и bb, јер је log⁡(ab)=log⁡a+log⁡b\log (ab) = \log a + \log b. Множење бројева логаритам претвара у сабирање.

Логаритмовањем се огромни бројеви своде на мале: тако се брзо процењује колико цифара има неки огроман број, а пре калкулатора инжењери су на логаритмару множили сабирајући логаритме.

Број од 2048 бита

За шифровање података на интернету користе се бројеви који у бинарном запису имају 2048 цифара (бита), па су сви мањи од 220482^{2048}. Колико цифара има број 220482^{2048} у декадном запису? Узмите log⁡2≈0,30103\log 2 \approx 0{,}30103.

Решење

  1. Природан број NN има k+1k + 1 цифара ако је 10k≤N<10k+110^k \le N < 10^{k+1}, тј. ако је k≤log⁡N<k+1k \le \log N < k + 1. Број цифара је зато цео део од log⁡N\log N увећан за 1.
  2. Логаритам степена: log⁡22048=2048⋅log⁡2≈2048⋅0,30103≈616,51\log 2^{2048} = 2048 \cdot \log 2 \approx 2048 \cdot 0{,}30103 \approx 616{,}51.
  3. Растављамо изложилац: 22048≈10616,51=100,51⋅10616≈3,2⋅106162^{2048} \approx 10^{616{,}51} = 10^{0{,}51} \cdot 10^{616} \approx 3{,}2 \cdot 10^{616}.
  4. Цео део логаритма је 616, па број има 616+1=617616 + 1 = 617 цифара.

Одговор: Број 220482^{2048} у декадном запису има 617 цифара.

Задатак за вежбу

Логаритмујте израз A=a3bc2A = \frac{a^3\sqrt{b}}{c^2}, а затим израчунајте log⁡A\log A ако је log⁡a=0,5\log a = 0{,}5, log⁡b=0,8\log b = 0{,}8 и log⁡c=0,3\log c = 0{,}3.

Прикажи решење

log⁡A=3log⁡a+12log⁡b−2log⁡c=1,5+0,4−0,6=1,3\log A = 3\log a + \frac{1}{2}\log b - 2\log c = 1{,}5 + 0{,}4 - 0{,}6 = 1{,}3.