Логаритамска функција

Логаритми. Логаритамска функција.

Логаритамска функција је $f(x) = \log_a x$ , где је $a > 0$ и $a \ne 1$ . Дефинисана је само за $x > 0$ , а скуп вредности су сви реални бројеви. График увек пролази кроз тачке $(1, 0)$ и $(a, 1)$ , а оса $y$ му је вертикална асимптота. За $a > 1$ функција расте, а за $0 < a < 1$ опада.

Логаритамска функција је инверзна експоненцијалној функцији $y = a^x$ , па су им графици симетрични у односу на праву $y = x$ . Домен функције као што је $y = \log_2 (6 - 2x)$ налазите из услова да је аргумент позитиван: $6 - 2x > 0$ , тј. $x < 3$ . Честа грешка је да се заборави да логаритам нуле и негативних бројева не постоји.

Основа a2

f(4) = logₐ 4: 2
f(1/4) = logₐ (1/4): −2

За

a > 1

график расте, за

0 < a < 1

опада, а увек пролази кроз тачке

(1, 0)

и

(a, 1)

. Испрекидани график

y = a^x

је његова слика у односу на праву

y = x

. Упоредите

a = 2

и

a = 0{,}5

: графици логаритама су симетрични у односу на осу

x

.

Логаритамска функција мери колико пута нешто треба удвостручити или удесетостручити: тако се рачунају време за које се бактерије намноже до неког броја, ниво звука у децибелима и магнитуда земљотреса.

Култура бактерија

Биолог у лабораторији у Новом Саду гаји бактерије које у повољним условима удвоструче број сваких 20 минута. На почетку их има 500, па време потребно да их буде $N$ износи $t(N) = 20 \log_2 \frac{N}{500}$ минута. Колико времена треба да их буде 64.000, а колико да их буде 128.000?

Решење

$\frac{64\,000}{500} = 128 = 2^7$ , па је $t = 20 \cdot \log_2 128 = 20 \cdot 7 = 140$ минута.
Кад је бактерија двоструко више: $t(2N) = 20\log_2 \frac{2N}{500} = 20\left(1 + \log_2 \frac{N}{500}\right) = t(N) + 20$ .
Зато је $t(128\,000) = 140 + 20 = 160$ минута.
Функција $t(N)$ расте, јер је основа $2 > 1$ , али све спорије: сваки пут кад се $N$ удвостручи, време порасте само за 20 минута.

Одговор: До 64.000 бактерија треба 140 минута, а до 128.000 бактерија 160 минута.

Задатак за вежбу

Одредите домен функције $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (6 - 2x)$ и упоредите вредности $f(1)$ и $f(2)$ .

Прикажи решење

Из $6 - 2x > 0$ домен је $x \in (-\infty, 3)$ . $f(1) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$ и $f(2) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$ , па је $f(1) < f(2)$ .