Тригонометријске функције полуугла 1

Тригонометријске функције полуугла. Примена на једноставне примере.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Израчунати тригонометријске функције угла $\alpha=\frac{\pi }{{12}}$

Пр.2 Проверити

$\frac{{1 - \sin \alpha + \cos \alpha }}{{1 - \sin \alpha - \cos \alpha }} = - ctg\frac{\alpha }{2}$

Пр.1

$\begin{aligned}&\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \frac{{\frac{\pi }{6}}}{2} = \sqrt {\frac{{1 - \cos \frac{\pi }{6}}}{2}} = \sqrt {\frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{2}} = \\ &= \sqrt {\frac{{\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{2}{1}}}} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2} \\ &\cos \frac{\pi }{{12}} = \cos \frac{{\frac{\pi }{6}}}{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos \frac{\pi }{6}}}{2}} = \sqrt {\frac{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{2}} = \\ &= \sqrt {\frac{{\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{2}{1}}}} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2} \\ &tg\frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{{12}}}}{{\cos \frac{\pi }{{12}}}} = \frac{{\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}}}{{\frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} \cdot \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} = \\ &= \frac{{\sqrt {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} }}{{2 + \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {4 - 3} }}{{2 + \sqrt 3 }} = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} \cdot \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = \\ &= \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 2 - \sqrt 3 \\ &ctg\frac{\pi }{{12}} = \frac{{\cos \frac{\pi }{{12}}}}{{\sin \frac{\pi }{{12}}}} = \frac{{\frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}}}{{\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}}} = 2 + \sqrt 3\end{aligned}$

Пр.2

$\begin{aligned}&\frac{{1 - \sin \alpha + \cos \alpha }}{{1 - \sin \alpha - \cos \alpha }} = - ctg\frac{\alpha }{2} \\ &\frac{{2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - \sin \alpha }}{{2si{n^2}\frac{\alpha }{2} - \sin \alpha }} = - ctg\frac{\alpha }{2} \\ &\frac{{2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2} \cdot \cos \frac{\alpha }{2}}}{{2si{n^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2} \cdot \cos \frac{\alpha }{2}}} = - ctg\frac{\alpha }{2} \\ &\frac{{2\cos \frac{\alpha }{2}\left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{ - 2sin\frac{\alpha }{2}\left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)}} = - ctg\frac{\alpha }{2} \\ &\frac{{\cos \frac{\alpha }{2}}}{{ - sin\frac{\alpha }{2}}} = - ctg\frac{\alpha }{2}\end{aligned}$

Формуле полуугла изводе се из облика косинуса двоструког угла, $\cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$ , тако што се из њих изрази синус или косинус половине угла: $\sin \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$ и $\cos \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$ . За тангенс постоје и облици без корена: $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ . Знак испред корена бирате према квадранту у ком је угао $\frac{\alpha}{2}$ , а не угао $\alpha$ .

Тако из познате вредности $\cos 30^\circ$ рачунате $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ и $\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ . У доказима идентитета користите облике $1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2}$ и $1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$ : они збир претварају у производ, па се разломак може скратити. Формуле користите и у геометрији: тетива круга полупречника $r$ над централним углом $\alpha$ дугачка је $2r\sin \frac{\alpha}{2}$ .

cos α (отклон ланаца)0,92

Отклон ланаца α: 23,1°
sin (α/2): 0,2
Подизање h: 0,2 m
Тетива d: 1 m

Подизање седишта је

h = 2{,}5(1 - \cos \alpha) = 5\sin^2 \frac{\alpha}{2}

, а тетива

d = 5\sin \frac{\alpha}{2}

, где је

\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}

. За

\cos \alpha = 0{,}92

је

\sin \frac{\alpha}{2} = 0{,}2

, па је

h = 0{,}2

m и

d = 1

m.

Инжењери формулама полуугла рачунају тетиву и висину лука: колико се подигне клатно или седиште љуљашке, колики је распон лучног моста или дужина пречице преко кружне стазе.

Љуљашка у парку

Ланци љуљашке у парку дугачки су 2,5 m. Дете се заљуља тако да ланци са вертикалом заклопе угао $\alpha$ за који је $\cos \alpha = 0{,}92$ . Колико се седиште подигне у односу на најнижи положај и колико је праволинијско растојање између та два положаја седишта?

Решење

Седиште је на $2{,}5\cos \alpha$ испод тачке вешања, па се подигне за $h = 2{,}5 - 2{,}5\cos \alpha = 2{,}5(1 - \cos \alpha)$ .
Пошто је $1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$ , а $\frac{\alpha}{2}$ оштар угао: $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - 0{,}92}{2}} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2$ .
$h = 2{,}5 \cdot 2 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}2$ m.
Тачка вешања и два положаја седишта чине једнакокраки троугао са крацима 2,5 m и углом $\alpha$ при врху, па је тетива $d = 2 \cdot 2{,}5 \cdot \sin \frac{\alpha}{2} = 5 \cdot 0{,}2 = 1$ m.

Одговор: Седиште се подигне 20 cm, а од најнижег положаја удаљи се 1 m праволинијски.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\sin \frac{\pi}{8}$ , $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{8}$ .

Прикажи решење

Из $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : $\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ , $\cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1$ .