Логаритамске једначине 3

Логаритми. Логаритамске једначине. Сложени примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску једначину.

пр.7) ${\log _{3x}}\left( {\frac{3}{x}} \right) + \log _3^2x = 1$

пр.8) ${\log _2}\left( {3 - x} \right) + {\log _2}\left( {1 - x} \right) = 3$

Пр.7

$\begin{aligned}&{\log _{3x}}\left( {\frac{3}{x}} \right) + \log _3^2x = 1 \\ &3x > 0,3x \ne 1,\frac{3}{x} > 0,x > 0 \Leftrightarrow x > 0,x \ne \frac{1}{3} \\ & \\ &{\log _{3x}}3 - {\log _{3x}}x + \log _3^2x = 1 \\ &\frac{1}{{{{\log }_3}3x}} - \frac{1}{{{{\log }_x}3x}} + \log _3^2x = 1 \\ &\frac{1}{{{{\log }_3}3 + {{\log }_3}x}} - \frac{1}{{{{\log }_x}3 + {{\log }_x}x}} + \log _3^2x = 1 \\ &\frac{1}{{1 + {{\log }_3}x}} - \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_3}x}} + 1}} + \log _3^2x = 1 \\ &смена:{\log _3}x = t \\ &\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{\frac{1}{t} + 1}} + {t^2} = 1 \\ &\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{\frac{{1 + t}}{t}}} + {t^2} = 1 \\ &\frac{1}{{1 + t}} - \frac{t}{{1 + t}} + {t^2} = 1\left| { \cdot \left( {1 + t} \right)} \right.\end{aligned}$

додатни услов: $1 + t \ne 0 \Leftrightarrow t \ne - 1$

$\begin{aligned}&1 - t + {t^2}\left( {1 + t} \right) = 1 + t \\ &1 - t + {t^3} + {t^2} - 1 - t = 0 \\ &{t^3} + {t^2} - 2t = 0 \\ &t\left( {{t^2} + t - 2} \right) = 0 \\ &t = 0,{t^2} + t - 2 = 0 \\ &{t^2} + t - 2 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 + 8} }}{2} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm 3}}{2} \\ &{t_1} = - 2,{t_2} = 1 \\ & \\ &t = 0,{t_1} = - 2,{t_2} = 1 \\ &{\log _3}x = 0,{\log _3}x = - 2,{\log _3}x = 1 \\ &{\log _3}x = 0 \\ &x = 1 \\ & \\ &{\log _3}x = - 2 \\ &x = {3^{ - 2}} \\ &x = \frac{1}{9} \\ & \\ &{\log _3}x = 1 \\ &x = 3\end{aligned}$

$x = \left\{ {\frac{1}{9},1,3} \right\}$

Пр.8

$\begin{aligned}&{\log _2}\left( {3 - x} \right) + {\log _2}\left( {1 - x} \right) = 3 \\ &3 - x > 0;1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1 \\ &{\log _2}\left( {3 - x} \right)\left( {1 - x} \right) = 3 \\ &\left( {3 - x} \right)\left( {1 - x} \right) = {2^3} \\ &3 - 3x - x + {x^2} = 8 \\ &{x^2} - 4x - 5 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{4 \pm \sqrt {16 + 20} }}{2} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{4 \pm 6}}{2} \\ &{x_1} = - 1,{x_2} = 5\end{aligned}$

Знамо да je $x < 1.$ Онда је решење jдначине ${x_1} = -1$

Кад у једначини има више логаритама исте основе, сведите сваку страну на један логаритам: збир постаје логаритам производа, $\log_a u + \log_a v = \log_a (uv)$ , а разлика логаритам количника. Број са друге стране напишите као логаритам, нпр. $3 = \log_2 8$ , па из $\log_a A = \log_a B$ следи $A = B$ .

Услове постављате за сваки логаритам посебно, пре спајања, јер производ $uv$ може бити позитиван и кад су оба чиниоца негативна. Тако $\log_2 (3 - x) + \log_2 (1 - x) = 3$ води на $x^2 - 4x - 5 = 0$ , са коренима $-1$ и $5$ , а услов $x < 1$ задржава само $x = -1$ . Ако су основе различите, као у $\log_{3x} \frac{3}{x}$ , пређите на основу 3 и уведите смену $t = \log_3 x$ .

Десна страна c3

Решење x: −1
Лажно решење (отпада): 5

Пуни график је лева страна једначине

\log_2 (3 - x) + \log_2 (1 - x) = c

и постоји само за

x < 1

. Испрекидани график

\log_2 ((3 - x)(1 - x))

има и грану за

x > 3

: тамо лежи лажно решење које уводи спајање логаритама.

Инжењери телекомуникација појачање уређаја изражавају у децибелима, $G = 10\log \frac{P_2}{P_1}$ , јер се тада појачања уређаја повезаних у низ само сабирају, па из укупног појачања рачунају појединачна.

Два појачавача

Сигнал са антене пролази кроз два појачавача повезана у низ. Први појачава снагу $x$ пута, а други $x + 3$ пута. Појачање у децибелима је $10 \log$ односа снага, а укупно појачање система је 10 dB: $10\log x + 10\log (x + 3) = 10$ . Колико пута појачава сваки појачавач?

Решење

Услови за оба логаритма: $x > 0$ и $x + 3 > 0$ , дакле $x > 0$ .
Поделимо са 10 и спојимо логаритме: $\log x(x + 3) = 1 = \log 10$ .
Из једнакости логаритама следи $x(x + 3) = 10$ , тј. $x^2 + 3x - 10 = 0$ , па је $x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$ : $x_1 = 2$ , $x_2 = -5$ .
Услов $x > 0$ задржава само $x = 2$ . Провера: $10\log 2 + 10\log 5 = 10\log 10 = 10$ .

Одговор: Први појачавач појачава снагу 2 пута, а други 5 пута, што заједно даје 10 пута, односно 10 dB.

Задатак за вежбу

Решите једначину $\log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 6) = 2$ .

Прикажи решење

Услови: $x - 2 > 0$ и $x + 6 > 0$ , па $x > 2$ . Тада је $(x - 2)(x + 6) = 9$ , тј. $x^2 + 4x - 21 = 0$ , па је $x = 3$ или $x = -7$ . Решење је само $x = 3$ .