Синусна теорема 2

Синусна теорема. Примена на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Одредити остале елементе троугла ако су дати страница $a = 2\sqrt 2$ и два његова угла $\alpha = {45^ \circ }$ и $\beta = {120^ \circ }$ .

Пр.2) Дате су две странице троугла $a = \frac{{10\sqrt 3 }}{3},b = 10$ и угао наспрам једне од њих $\alpha = {30^ \circ }$ . Одредти остале елементе тог троугла.

Пр.1 $\begin{aligned}&\alpha + \beta + \gamma = {180^\circ } \\ &{45^\circ } + {120^\circ } + \gamma = {180^\circ } \\ &\gamma = {180^\circ } - \left( {{{45}^\circ } + {{120}^\circ }} \right) \\ &\gamma = {15^\circ }\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} \\ &\sin \alpha = \sin {45^\circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ &\sin \beta = \sin {120^\circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ &\frac{{2\sqrt 2 }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{b}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \\ &2b = 4\sqrt 3 \\ &b = 2\sqrt 3\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} \\ &\sin \gamma = \sin {15^\circ } = \sin \frac{{{{30}^\circ }}}{2} = \sqrt {\frac{{1 - \cos {{30}^\circ }}}{2}} = \sqrt {\frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{2}} = \\ &= \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2} \\ &\frac{{2\sqrt 2 }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{c}{{\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}}} \\ &4 = \frac{c}{{\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}}} \\ &4 = \frac{{2c}}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }} \\ &2c = 4\sqrt {2 - \sqrt 3 } \\ &c = 2\sqrt {2 - \sqrt 3 }\end{aligned}$

Пр.2 Знамо да је $b > a$ онда $\beta > \alpha$ .

$\begin{aligned}&\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} \\ &b\sin \alpha = a\sin \beta \\ &\sin \beta = \frac{b}{a}\sin \alpha \\ &\sin \beta = \frac{{10}}{{\frac{{10\sqrt 3 }}{3}}} \cdot \frac{1}{2} \\ &\sin \beta = \frac{3}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{1}{2} \\ &\sin \beta = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ &1)\beta = {60^\circ } \\ &\gamma = {180^\circ } - \left( {\alpha + \beta } \right) \\ &\gamma = {90^\circ } \\ &{c^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{c^2} = {\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {10^2} \\ &{c^2} = \frac{{100 \cdot 3}}{9} + 100 \\ &{c^2} = \frac{{400}}{3} \\ &c = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \\ &c = \frac{{20\sqrt 3 }}{3} \\ &2)\beta = {120^\circ } \\ &\gamma = {180^\circ } - \left( {\alpha + \beta } \right) \\ &\gamma = {30^\circ } \\ &\alpha = \gamma \\ &a = c \\ &c = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\end{aligned}$

У сложенијим задацима синусна теорема се комбинује са другим формулама. Кад су дати страница и два угла, трећи угао је $180^\circ - \alpha - \beta$ , а остале странице следе из $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$ ; синус угла као што је $15^\circ$ рачунате формулом за полуугао.

Кад су дате две странице и угао наспрам једне од њих, из $\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a}$ могу да изађу два угла, $\beta$ и $180^\circ - \beta$ , јер синус има исту вредност у првом и другом квадранту. Проверите оба: троугао постоји ако је збир углова мањи од $180^\circ$ и ако наспрам веће странице лежи већи угао. Честа грешка је одбацити тупоугли троугао без провере.

Домет сигнала r6 km

AC₁: 11,98 km
AC₂: 5,34 km
Угао γ₁: 56,4°
Угао γ₂: 123,6°

Круг око предајника

B

сече пут у две тачке кад је домет између 5 km и 10 km: исти подаци дају два троугла, један са оштрим и један са тупим углом код

C

. При домету од тачно 5 km круг додирује пут и троугао је само један, правоугли.

Двосмислени случај синусне теореме јавља се у навигацији и код покривености мобилне мреже: кад су познати правац кретања и растојање до предајника, исту удаљеност од предајника пут има у две различите тачке.

Домет сигнала

Бициклиста вози правим путем из места $A$ . Предајник мобилне мреже $B$ удаљен је 10 km од места $A$ , а пут са правцем $AB$ заклапа угао од $30^\circ$ . Сигнал предајника досеже 6 km. На којим растојањима од места $A$ бициклиста улази у домет сигнала и излази из њега?

Решење

Тачка пута $C$ на граници домета гради троугао $ABC$ са $BC = 6$ km, $AB = 10$ km и углом од $30^\circ$ код $A$ . Угао $\gamma$ код $C$ лежи наспрам $AB$ .
Синусна теорема: $\sin\gamma = \frac{AB \cdot \sin 30^\circ}{BC} = \frac{10 \cdot 0{,}5}{6} = \frac{5}{6}$ , па је $\gamma_1 \approx 56{,}44^\circ$ или $\gamma_2 = 180^\circ - \gamma_1 \approx 123{,}56^\circ$ . Оба угла су могућа.
Угао код $B$ је тада $\beta_1 \approx 180^\circ - 30^\circ - 56{,}44^\circ = 93{,}56^\circ$ , односно $\beta_2 \approx 26{,}44^\circ$ .
Из $\frac{AC}{\sin\beta} = \frac{BC}{\sin 30^\circ} = 12$ следи $AC_1 = 12\sin 93{,}56^\circ \approx 11{,}98$ km и $AC_2 = 12\sin 26{,}44^\circ \approx 5{,}34$ km.

Одговор: Бициклиста улази у домет сигнала око 5,34 km од места $A$ , а излази из њега око 11,98 km од $A$ , па кроз зону сигнала вози око 6,63 km.

Задатак за вежбу

Дате су странице троугла $a = 4\sqrt 2$ cm и $b = 8$ cm и угао $\alpha = 30^\circ$ . Одредите остале углове и страницу $c$ .

Прикажи решење

$\sin\beta = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{4\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2}$ , па је $\beta = 45^\circ$ или $\beta = 135^\circ$ . Прво решење: $\gamma = 105^\circ$ и $c = \frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha} = 4 + 4\sqrt 3 \approx 10{,}93$ cm. Друго: $\gamma = 15^\circ$ и $c = 4\sqrt 3 - 4 \approx 2{,}93$ cm.