Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Квадратна једначина – Виетове фомуле 2

Виетове формуле. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.2   Не решавајући квадратну једначину 2x2−3x+6=02{x^2} - 3x + 6 = 0

           одредити 1x1+1x2=\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} =

Пр.3   Не решавајући квадратну једначину −x2+x−6=0- {x^2} + x - 6 = 0

           одреди x13−x23=x_1^3 - x_2^3 =

Пр.4   Не решавајући квадратну једначину 0,5x2−x+7,5=00,5{x^2} - x + 7,5 = 0

           одреди x13−x23=x_1^3 - x_2^3 =

Пр.5   Не решавајући квадратну једначину

          x2−2(m+2)x+4m+5=0{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4m + 5 = 0 одредити параметар

          mm тако да између решења постоји веза x1−x2=2{x_1} - {x_2} = 2.

Пр.2

x1+x2=−ba=32x1x2=ca=62=31x1+1x2=x1+x2x1x2=323=12\begin{aligned}&{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{3}{2} \\ &{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{6}{2} = 3 \\ &\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{1}{2}\end{aligned}

Пр.3

x1+x2=−ba=−1−1=1x1x2=ca=−6−1=6x12+x22=x12+2x1x2−2x1x2+x22=(x1+x2)2−2x1x2==1−2⋅6=−11\begin{aligned}&{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{{ - 1}} = 1 \\ &{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 6}}{{ - 1}} = 6 \\ &x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = \\ &= 1 - 2 \cdot 6 = - 11\end{aligned}

Пр.4

x1+x2=−ba=−−10,5=2x1x2=ca=7,50,5=15x13+x23=x13+3x12x2+3x1x22+x23−3x12x2−3x1x22==(x1+x2)3−3x12x2−3x1x22=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)==23−3⋅15⋅2=8−90=−82\begin{aligned}&{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 1}}{{0,5}} = 2 \\ &{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{7,5}}{{0,5}} = 15 \\ &x_1^3 + x_2^3 = x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - 3x_1^2{x_2} - 3{x_1}x_2^2 = \\ &= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3x_1^2{x_2} - 3{x_1}x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \\ &= {2^3} - 3 \cdot 15 \cdot 2 = 8 - 90 = - 82\end{aligned}

Пр.5

x1+x2=−−2(m+2)1=2(m+2)x1x2=4m+5(x1−x2)2=2x12−2x1x2+x22=2x12+2x1x2+x22−2x1x2−2x1x2=2(x1+x2)2−4x1x2=2(2(m+2))2−4⋅(4m+5)=2(2(m+2))2−4⋅(4m+5)=44(m2+4m+4)−16m−20−4=04m2+16m+16−16m−20−4=04m2−8=0m2−2=0m2=2m=±2\begin{aligned}&{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 2\left( {m + 2} \right)}}{1} = 2\left( {m + 2} \right) \\ &{x_1}{x_2} = 4m + 5 \\ &\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = 2 \\ &\sqrt {x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2} = 2 \\ &\sqrt {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} = 2 \\ &\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = 2 \\ &\sqrt {{{\left( {2\left( {m + 2} \right)} \right)}^2} - 4 \cdot \left( {4m + 5} \right)} = 2 \\ &{\left( {2\left( {m + 2} \right)} \right)^2} - 4 \cdot \left( {4m + 5} \right) = 4 \\ &4\left( {{m^2} + 4m + 4} \right) - 16m - 20 - 4 = 0 \\ &4{m^2} + 16m + 16 - 16m - 20 - 4 = 0 \\ &4{m^2} - 8 = 0 \\ &{m^2} - 2 = 0 \\ &{m^2} = 2 \\ &m = \pm \sqrt 2\end{aligned}

Изразе који се не мењају кад x1x_1 и x2x_2 замене места рачунате без решавања једначине, само из x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} и x1x2=cax_1x_2 = \frac{c}{a}. Сваки такав израз може се написати помоћу збира и производа, па се задатак своди на замену бројева. Збир и производ прво препишите из коефицијената, пазећи на знак. Најчешће формуле су: 1x1+1x2=x1+x2x1x2\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}, x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2, x13+x23=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) и (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2.

Последња служи кад је задата разлика решења: из x1−x2=2x_1 - x_2 = 2 следи (x1+x2)2−4x1x2=4(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4, а то је једначина по параметру. Овако рачунате и кад су решења комплексна, јер су збир и производ реални. Честа грешка је x12+x22=(x1+x2)2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2, без члана −2x1x2-2x_1x_2.

369121518−20−101020300xyx₁x₂
17
60
x₁² + x₂² = s² − 2p
169
(x₁ − x₂)² = s² − 4p
49
1/x₁ + 1/x₂ = s : p
0,283
Парабола y=x2−sx+py = x^2 - sx + p има решења са збиром ss и производом pp. Збир квадрата s2−2ps^2 - 2p рачуна се и кад парабола не сече осу xx; тада је (x1−x2)2=s2−4p(x_1 - x_2)^2 = s^2 - 4p негативно, а решења су комплексна. За s=17s = 17 и p=60p = 60 збир квадрата је 169.

Кад знате обим и површину правоугаоне парцеле, Виетове формуле дају дијагоналу или збир квадрата страница, а да саме странице не рачунате.

Стаза преко травњака

Кроз правоугаони травњак обима 34 m и површине 60 m² треба поставити стазу по дијагонали. Колико је стаза дугачка? Странице травњака не рачунајте.

Решење

  1. Странице x1x_1 и x2x_2 су решења једначине x2−17x+60=0x^2 - 17x + 60 = 0, јер је x1+x2=17x_1 + x_2 = 17 (полуобим), а x1x2=60x_1x_2 = 60.
  2. По Питагориној теореми дијагонала dd испуњава d2=x12+x22d^2 = x_1^2 + x_2^2.
  3. x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=172−2⋅60=289−120=169x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 17^2 - 2 \cdot 60 = 289 - 120 = 169.
  4. d=169=13d = \sqrt{169} = 13.

Одговор: Стаза по дијагонали дугачка је 13 m.

Задатак за вежбу

Не решавајући једначину x2−5x+2=0x^2 - 5x + 2 = 0, израчунајте x12+x22x_1^2 + x_2^2, 1x1+1x2\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} и x13+x23x_1^3 + x_2^3.

Прикажи решење

x1+x2=5x_1 + x_2 = 5, x1x2=2x_1x_2 = 2. Затим x12+x22=25−4=21x_1^2 + x_2^2 = 25 - 4 = 21, 1x1+1x2=52\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{2} и x13+x23=125−3⋅2⋅5=95x_1^3 + x_2^3 = 125 - 3 \cdot 2 \cdot 5 = 95.