Логаритми 3

Логаритми. Дефиниција, особине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити следећи задатак.

пр.4) ${7^{{{\log }_7}3}} =$

пр.5) ${10^{0,5 - \log \left( {0,375\sqrt {10} } \right)}} =$

пр.6) $\left( {{{81}^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}{{\log }_9}4}} + {{25}^{{{\log }_{125}}8}}} \right) \cdot {49^{{{\log }_7}2}} =$

Пр.4

${7^{{{\log }_7}3}} = 3$

Пр.5

$\begin{aligned}&\boxed{{a^{{{\log }_a}b}} = b} \\ &{10^{0,5 - \log \left( {0,375\sqrt {10} } \right)}} = \frac{{{{10}^{0,5}}}}{{{{10}^{\log \left( {0,375\sqrt {10} } \right)}}}} = \frac{{{{10}^{\frac{1}{2}}}}}{{{{10}^{{{\log }_{10}}\left( {\frac{3}{8}\sqrt {10} } \right)}}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{\frac{3}{8}\sqrt {10} }} = \frac{8}{3}\end{aligned}$

Пр.6

$\begin{aligned}&\left( {{{81}^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}{{\log }_9}4}} + {{25}^{{{\log }_{125}}8}}} \right) \cdot {49^{{{\log }_7}2}} = \\ &= \left( {\frac{{{{81}^{\frac{1}{4}}}}}{{{{81}^{\frac{1}{4}{{\log }_9}4}}}} + {{\left( {{5^2}} \right)}^{{{\log }_{{5^3}}}{2^3}}}} \right) \cdot {\left( {{7^2}} \right)^{{{\log }_7}2}} = \\ &= \left( {\frac{{\sqrt[4]{{81}}}}{{{{\left( {{9^2}} \right)}^{\frac{1}{4}{{\log }_9}4}}}} + {5^{2{{\log }_{{5^3}}}{2^3}}}} \right) \cdot {7^{2{{\log }_7}2}} = \\ &= \left( {\frac{3}{{{9^{\frac{1}{2}{{\log }_9}4}}}} + {5^{2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3{{\log }_5}2}}} \right) \cdot {7^{{{\log }_7}{2^2}}} = \left( {\frac{3}{{{9^{{{\log }_9}\sqrt 4 }}}} + {5^{2{{\log }_5}2}}} \right) \cdot {7^{{{\log }_7}4}} = \\ &= \left( {\frac{3}{2} + {5^{{{\log }_5}{2^2}}}} \right) \cdot 4 = \left( {\frac{3}{2} + 4} \right) \cdot 4 = \frac{{11}}{2} \cdot 4 = 22\end{aligned}$

Из дефиниције логаритма следи основни идентитет $a^{\log_a b} = b$ (за $a > 0$ , $a \ne 1$ , $b > 0$ ). Он важи зато што је $\log_a b$ управо изложилац којим се од основе $a$ добија број $b$ , па је $7^{\log_7 3} = 3$ и $10^{\log 5} = 5$ . Зато се степен чији изложилац садржи логаритам често своди на обичан број.

Сложеније изразе решавате тако што изложилац прво средите правилима за логаритме. Збир и разлику у изложиоцу раздвојите: $a^{m - \log_a b} = \frac{a^m}{b}$ . Коефицијент уз логаритам пребаците у изложилац броја: $a^{k\log_a b} = b^k$ . Кад основа степена није основа логаритма, обе напишите као степен истог броја: $25^{\log_{125} 8} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}\log_5 8} = 8^{\frac{2}{3}} = 4$ . Честа грешка: $a^{\log_a b + c}$ није $b + a^c$ , већ $b \cdot a^c$ .

Изложилац k (основа 2ᵏ)3

Број x8

log₂ x: 3
Логаритам за основу 2ᵏ: 1
k · (логаритам за основу 2ᵏ): 3

Мењајте

k

и пратите зелену тачку: за основу

2^k

логаритам је

k

пута мањи,

\log_{2^k} x = \frac{1}{k}\log_2 x

. Тако се основа

125 = 5^3

своди на основу 5, а основа

81 = 9^2

на основу 9.

Астрономи сјај звезда мере логаритамском скалом привидних величина, па степеновањем броја 10 из разлике величина добијају колико је једна звезда сјајнија од друге; на исти начин хемичари из вредности $\mathrm{pH}$ рачунају концентрацију водоникових јона.

Сјај звезда

Привидна величина звезде је $m = -2{,}5 \log \frac{I}{I_0}$ , где је $I$ сјај звезде, а $I_0$ упоредни сјај. Сиријус, најсјајнија звезда ноћног неба, има $m_1 = -1{,}5$ , а најслабије звезде које се голим оком виде далеко од градских светала имају $m_2 = 6$ . Колико пута је Сиријус сјајнији од њих?

Решење

Из формуле је $\log \frac{I}{I_0} = -\frac{m}{2{,}5} = -0{,}4m$ , па по идентитету $10^{\log x} = x$ добијамо $I = I_0 \cdot 10^{-0{,}4m}$ .
Однос сјаја две звезде је $\frac{I_1}{I_2} = \frac{10^{-0{,}4 m_1}}{10^{-0{,}4 m_2}} = 10^{0{,}4(m_2 - m_1)}$ .
Уврстимо величине: $0{,}4 \cdot (6 - (-1{,}5)) = 0{,}4 \cdot 7{,}5 = 3$ , па је $\frac{I_1}{I_2} = 10^3 = 1000$ .

Одговор: Сиријус је 1000 пута сјајнији од најслабијих звезда које се виде голим оком.

Задатак за вежбу

Израчунајте $4^{\log_2 3} + 10^{1 - \log 2}$ .

Прикажи решење

$4^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 9} = 9$ и $10^{1 - \log 2} = \frac{10}{10^{\log 2}} = \frac{10}{2} = 5$ , па је резултат 14.