Квадратна функција 3

Квадратна функција. Испитивање квадратне функције. Домен, нуле,теме, оса симетрије, кодомен, знак, монотоност. Једноставни примери

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1) Испитати график функције:

$y = {x^2} + 4x + 3$

Пр.1 Испитиваћемо график функције: $y = {x^2} + 4x + 3,$ $a \ne 0$ .

Домен функције - простирање функције дуж $x -$ осе $Df:R$
Нуле функције - тачке пресека са $x -$ осом $(y=0)$ $\begin{aligned}&{x^2} + 4x + 3 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {{4^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3} }}{{2 \cdot 1}} \\ &{x_1} = - 3 \\ &{x_2} = - 1 \\ &A\left( { - 3;0} \right),B\left( { - 1;0} \right)\end{aligned}$ Одмах те тачке уцртаћемо на графику.
Пресек са $y -$ осом. За $x=0$ je $y=3$ . Добићемо тачку $C\left( {0;3} \right)$
Одредити теме параболе тачку $T\left( {\alpha ,\beta } \right)$ $\begin{aligned}&\alpha = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{4}{{2 \cdot 1}} = - 2 \\ &\beta = \frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}} = \frac{{ - {4^2} + 4 \cdot 1 \cdot 3}}{{4 \cdot 1}} = \frac{{ - 16 + 12}}{4} = - 1 \\ &T\left( { - 2; - 1} \right)\end{aligned}$ Добили смо jош jедну тачку. Повезуемо све ове тачке.
Оса симетриjе jе права у односу на коjу график jе симетричан. Ова права имаће једнакост $x=\alpha$ или $x = - 2$ .
Кодомен функције - простирање функције дуж $y -$ осе. $\overline {Df} :y \in \left[ { - 1,\infty } \right)$
Знак функције $\begin{aligned}&y > 0,x \in \left( { - \infty , - 3} \right) \cup \left( { - 1, + \infty } \right) \\ &y < 0,x \in \left( { - 3; - 1} \right)\end{aligned}$
Монотоност. Функција је расте кад $x \in \left( { - 2, + \infty } \right)$ и опада је кад $x \in \left( { - \infty , - 2} \right)$ .

Испитати квадратну функцију $y = ax^2 + bx + c$ значи редом одредити: домен (увек $\mathbb{R}$ ), нуле из $ax^2 + bx + c = 0$ (постоје само ако је $D = b^2 - 4ac \geqslant 0$ ), пресек са осом $y$ у тачки $(0; c)$ , теме $T\left(-\frac{b}{2a}; \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$ , осу симетрије $x = -\frac{b}{2a}$ , скуп вредности, знак и монотоност. За $a > 0$ скуп вредности је $[\beta, +\infty)$ , функција опада лево од темена, а расте десно, и негативна је између нула. Добијене тачке уцртајте и спојите глатком параболом, симетричном у односу на праву $x = \alpha$ . Добра провера: теме лежи тачно на средини између нула, $\alpha = \frac{x_1 + x_2}{2}$ , па грешку у нулама или темену одмах приметите.

a0,5

b−4

c6

α: 4
β: −2
D: 4

Нуле

x_1

и

x_2

, теме

T

и пресек

C

са осом

y

довољни су за скицу. Теме увек лежи на оси симетрије, тачно на средини између нула. Кад

D

постане негативна, нуле нестају, а парабола је цела изнад осе

x

.

Испитивањем функције из модела се читају најмања вредност, интервал у ком је величина негативна и где расте: на пример, колико ниско и колико дуго температура током ноћи пада испод нуле.

Мраз у воћњаку

Воћар код Чачка прати пролећну ноћ у којој је температура $t$ сати после поноћи приближно $f(t) = 0{,}5t^2 - 4t + 6$ °C, за $0 \leqslant t \leqslant 8$ . Када је температура испод нуле, колика је најнижа и када наступа?

Решење

Нуле: $0{,}5t^2 - 4t + 6 = 0$ , па после множења са 2 добијамо $t^2 - 8t + 12 = 0$ , тј. $t_1 = 2$ и $t_2 = 6$ .
Теме: $\alpha = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 0{,}5} = 4$ и $\beta = f(4) = 8 - 16 + 6 = -2$ , па је теме $T(4; -2)$ .
Пошто је $a = 0{,}5 > 0$ , функција је негативна између нула, за $2 < t < 6$ .
Функција опада за $t < 4$ , а расте за $t > 4$ : до 4 сата се хлади, а онда загрева, па у 8 сати поново има $f(8) = 6$ °C.

Одговор: Мраз траје од 2 до 6 сати ујутру, а најнижа температура је −2 °C, у 4 сата.

Задатак за вежбу

Испитајте функцију $y = x^2 - 2x - 8$ : одредите нуле, теме, скуп вредности, знак и монотоност.

Прикажи решење

Нуле су $-2$ и $4$ , пресек са осом $y$ је $(0; -8)$ , теме $T(1; -9)$ , а скуп вредности $[-9, +\infty)$ . Функција је негативна за $x \in (-2, 4)$ , позитивна за $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$ , опада на $(-\infty, 1)$ и расте на $(1, +\infty)$ .