Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Основни тригонометријски идентитети

Основни тригонометријски идентитети. Примена на једноставнијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1)   Одредити остале тригонометријске функције ако нам је дат

           sin⁡α=−13\sin \alpha = - \frac{1}{3} и знамо да је α∈(π,3π2)\alpha \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right).

пр.2)   Дат нам је ctgα=−2,5ctg\alpha = - 2,5, одредити остале тригонометријске

           функције ако је α∈(3π2,2π)\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2},2\pi } \right).

Пр.1

sin⁡α=−13,α∈(π,3π2)sin⁡2α+cos⁡2α=1(−13)2+cos⁡2α=1cos⁡2α=1−19cos⁡2α=89cos⁡α=±83α∈(π,3π2)⇒cos⁡α=−83=−223tgα=sin⁡αcos⁡α=−13−223=122⋅22=24ctgα=1tgα=42⋅22=22\begin{aligned}&\sin \alpha = - \frac{1}{3},\alpha \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right) \\ &{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} \\ &{\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9} \\ &\cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 8 }}{3} \\ &\alpha \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 8 }}{3} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \\ &tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \\ &ctg\alpha = \frac{1}{{tg\alpha }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2\end{aligned}

Пр.2

ctgα=−2,5,α∈(3π2,2π)ctgα=−52tgα=1ctgα=−25ctgα=cos⁡αsin⁡α=−52∣⋅sin⁡αcos⁡α=−52⋅sin⁡αsin⁡2α+cos⁡2α=1sin⁡2α+(−52⋅sin⁡α)2=1sin⁡2α+254sin⁡2α=1sin⁡2α(1+254)=1sin⁡2α⋅294=1sin⁡2α=429sin⁡α=±229⋅2929=±22929α∈(3π2,2π)⇒sin⁡α=−22929cos⁡α=−52⋅sin⁡α=−52⋅(−22929)=−52929\begin{aligned}&ctg\alpha = - 2,5,\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2},2\pi } \right) \\ &ctg\alpha = - \frac{5}{2} \\ &tg\alpha = \frac{1}{{ctg\alpha }} = - \frac{2}{5} \\ &ctg\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \frac{5}{2}\left| { \cdot \sin \alpha } \right. \\ &\cos \alpha = - \frac{5}{2} \cdot \sin \alpha \\ &\boxed{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha = 1} \\ &{\sin ^2}\alpha + {\left( { - \frac{5}{2} \cdot \sin \alpha } \right)^2} = 1 \\ &{\sin ^2}\alpha + \frac{{25}}{4}{\sin ^2}\alpha = 1 \\ &{\sin ^2}\alpha \left( {1 + \frac{{25}}{4}} \right) = 1 \\ &{\sin ^2}\alpha \cdot \frac{{29}}{4} = 1 \\ &{\sin ^2}\alpha = \frac{4}{{29}} \\ &\sin \alpha = \pm \frac{2}{{\sqrt {29} }} \cdot \frac{{\sqrt {29} }}{{\sqrt {29} }} = \pm \frac{{2\sqrt {29} }}{{29}} \\ &\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2},2\pi } \right) \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{2\sqrt {29} }}{{29}} \\ &\cos \alpha = - \frac{5}{2} \cdot \sin \alpha = - \frac{5}{2} \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt {29} }}{{29}}} \right) = - \frac{{5\sqrt {29} }}{{29}}\end{aligned}

Основни тригонометријски идентитети важе за сваки угао за који су функције дефинисане. Најважнији је sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, који на тригонометријском кругу следи из Питагорине теореме. Уз њега важи tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} и tg⁡α⋅ctg⁡α=1\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1, а дељењем првог идентитета са cos⁡2α\cos^2 \alpha добијате 1+tg⁡2α=1cos⁡2α1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}.

Помоћу идентитета из једне познате функције рачунате све остале. Из sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 следи cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}, а знак бирате према квадранту у ком је угао. Ако је дат тангенс или котангенс, изразите једну функцију преко друге, нпр. cos⁡α=ctg⁡α⋅sin⁡α\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha, и уврстите у основни идентитет. Најчешћа грешка је погрешан знак корена, па квадрант одредите на самом почетку.

α = 150°1−11−1OxyPtg αsin αcos αα
sin²α + cos²α
1
tg α · ctg α
1
1 + tg²α
1,333
1 : cos²α
1,333
Где год да померите тачку PP, збир квадрата синуса и косинуса је 1, а производ тангенса и котангенса такође 1. Знакови функција мењају се по квадрантима, али идентитети остају.

Тесари и кровопокривачи нагиб крова задају односом висине и хоризонталног распона, тј. тангенсом угла, а из њега идентитетима рачунају дужину рогова и висину слемена.

Рогови за кров

Кров куће у Чачку има нагиб tg⁡α=34\operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4}: на свака 4 m хоризонтално кров се подигне 3 m. Хоризонтално растојање од спољног зида до слемена је 4,8 m. Колико дугачки морају бити рогови и колико је слеме високо изнад таванице?

Решење

  1. Из 1+tg⁡2α=1cos⁡2α1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} је 1cos⁡2α=1+916=2516\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}, па је cos⁡α=45\cos \alpha = \frac{4}{5}, јер је угао оштар.
  2. Из sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1: sin⁡α=1−1625=35\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}.
  3. Рог је хипотенуза, а распон налегла катета: l=4,8cos⁡α=4,8⋅54=6l = \frac{4{,}8}{\cos \alpha} = 4{,}8 \cdot \frac{5}{4} = 6 m.
  4. Висина слемена је наспрамна катета: h=lsin⁡α=6⋅35=3,6h = l \sin \alpha = 6 \cdot \frac{3}{5} = 3{,}6 m.

Одговор: Рогови су дугачки 6 m (без препуста), а слеме је 3,6 m изнад таванице.

Задатак за вежбу

Дато је cos⁡α=513\cos \alpha = \frac{5}{13} и α∈(3π2,2π)\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right). Одредите sin⁡α\sin \alpha, tg⁡α\operatorname{tg} \alpha и ctg⁡α\operatorname{ctg} \alpha.

Прикажи решење

У четвртом квадранту синус је негативан: sin⁡α=−1−25169=−1213\sin \alpha = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\frac{12}{13}, па је tg⁡α=−125\operatorname{tg} \alpha = -\frac{12}{5} и ctg⁡α=−512\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{5}{12}.