Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Квадратна једначина – триномна једначина

Решавање триномне једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1)   Решити следећу триномну једначину:

           x6−9x3+8=0{x^6} - 9{x^3} + 8 = 0

пр.2)   Решити триномну једначину:

           x8−17x4+16=0{x^8} - 17{x^4} + 16 = 0

Пр.1

x6−9x3+8=0(x3)2−9x3+8=0смена:x3=tt2−9t+8=0t1,2=9±81−4⋅8⋅12t1,2=9±72t1=8,t2=1x3=8∨x3=1x3−8=0x3−23=0(x−2)(x2+2x+4)=0x−2=0∨x2+2x+4=0x1=2x2+2x+4=0x2,3=−2±−122x2,3=−2±2i32x2,3=2(−1±i3)2x2,3=−1±i3x3=1x3−1=0(x−1)(x2+x+1)=0x−1=0∨x2+x+1=0x4=1x2+x+1=0x5,6=−1±−32x5,6=−1±i32\begin{aligned}&{x^6} - 9{x^3} + 8 = 0 \\ &{\left( {{x^3}} \right)^2} - 9{x^3} + 8 = 0 \\ &смена:{x^3} = t \\ &{t^2} - 9t + 8 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{9 \pm \sqrt {81 - 4 \cdot 8 \cdot 1} }}{2} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{9 \pm 7}}{2} \\ &{t_1} = 8,{t_2} = 1 \\ & \\ &{x^3} = 8 \vee {x^3} = 1 \\ &{x^3} - 8 = 0 \\ &{x^3} - {2^3} = 0 \\ &\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 0 \\ &x - 2 = 0 \vee {x^2} + 2x + 4 = 0 \\ &{x_1} = 2 \\ & \\ &{x^2} + 2x + 4 = 0 \\ &{x_{2,3}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt { - 12} }}{2} \\ &{x_{2,3}} = \frac{{ - 2 \pm 2i\sqrt 3 }}{2} \\ &{x_{2,3}} = \frac{{2\left( { - 1 \pm i\sqrt 3 } \right)}}{2} \\ &{x_{2,3}} = - 1 \pm i\sqrt 3 \\ & \\ &{x^3} = 1 \\ &{x^3} - 1 = 0 \\ &\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0 \\ &x - 1 = 0 \vee {x^2} + x + 1 = 0 \\ &{x_4} = 1 \\ & \\ &{x^2} + x + 1 = 0 \\ &{x_{5,6}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt { - 3} }}{2} \\ &{x_{5,6}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\end{aligned}

x1=2,x2,3=−1±i3,x4=1,x5,6=−1±i32{x_1} = 2,{x_{2,3}} = - 1 \pm i\sqrt 3 ,{x_4} = 1,{x_{5,6}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}

Пр.2

x8−17x4+16=0(x4)2−17x4+16=0:x4=tt2−17t+16=0t1,2=17±289−4⋅16⋅12t1,2=17±152t1=1,t2=16x4=1∨x4=16x4−1=0(x2)2−12=0(x2−1)(x2+1)=0x2−1=0x2=1x1,2=±1x2+1=0x2=−1x3,4=±−1x3,4=±ix4=16x4−16=0(x2)2−(22)2=0(x2−22)(x2+22)=0x2−22=0x2=4x5,6=±2x2+22=0x2=−4x7,8=±−4x7,8=±2i\begin{aligned}&{x^8} - 17{x^4} + 16 = 0 \\ &{\left( {{x^4}} \right)^2} - 17{x^4} + 16 = 0 \\ &:{x^4} = t \\ &{t^2} - 17t + 16 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{17 \pm \sqrt {289 - 4 \cdot 16 \cdot 1} }}{2} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{17 \pm 15}}{2} \\ &{t_1} = 1,{t_2} = 16 \\ & \\ &{x^4} = 1 \vee {x^4} = 16 \\ &{x^4} - 1 = 0 \\ &{\left( {{x^2}} \right)^2} - {1^2} = 0 \\ &\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \\ &{x^2} - 1 = 0 \\ &{x^2} = 1 \\ &{x_{1,2}} = \pm 1 \\ &{x^2} + 1 = 0 \\ &{x^2} = - 1 \\ &{x_{3,4}} = \pm \sqrt { - 1} \\ &{x_{3,4}} = \pm i \\ & \\ &{x^4} = 16 \\ &{x^4} - 16 = 0 \\ &{\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {{2^2}} \right)^2} = 0 \\ &\left( {{x^2} - {2^2}} \right)\left( {{x^2} + {2^2}} \right) = 0 \\ &{x^2} - {2^2} = 0 \\ &{x^2} = 4 \\ &{x_{5,6}} = \pm 2 \\ &{x^2} + {2^2} = 0 \\ &{x^2} = - 4 \\ &{x_{7,8}} = \pm \sqrt { - 4} \\ &{x_{7,8}} = \pm 2i\end{aligned}

x1,2=±1,x3,4=±i,x5,6=±2,x7,8=±2i{x_{1,2}} = \pm 1,{x_{3,4}} = \pm i,{x_{5,6}} = \pm 2,{x_{7,8}} = \pm 2i

Триномна једначина има облик ax2n+bxn+c=0ax^{2n} + bx^n + c = 0; за n=2n = 2 то је биквадратна. Сменом xn=tx^n = t постаје квадратна, at2+bt+c=0at^2 + bt + c = 0, коју решавате формулом или Виетовим формулама. За свако њено решење затим решавате биномну једначину xn=tx^n = t. За n=3n = 3 растављате по формулама за разлику и збир кубова, x3−k3=(x−k)(x2+kx+k2)x^3 - k^3 = (x - k)(x^2 + kx + k^2) и x3+k3=(x+k)(x2−kx+k2)x^3 + k^3 = (x + k)(x^2 - kx + k^2), а за n=4n = 4 по разлици квадрата. Свака једначина x3=tx^3 = t, t≠0t \neq 0, има једно реално и два комплексна решења, па једначина x6+bx3+c=0x^6 + bx^3 + c = 0 има највише два реална решења. Честа грешка је из x3=8x^3 = 8 записати само x=2x = 2 кад се траже сва решења.

−1,5−0,50,51,5−15−55150xyfx₁x₂
−7
−8
t₁
8
t₂
−1
x₁ = ∛t₁
2
x₂ = ∛t₂
−1
Нуле функције y=x6+px3+qy = x^6 + px^3 + q су t13\sqrt[3]{t_1} и t23\sqrt[3]{t_2}, где су t1t_1 и t2t_2 решења једначине t2+pt+q=0t^2 + pt + q = 0. Кубни корен постоји и за негативно tt, па свако реално tt даје тачно једну реалну нулу.

Триномна једначина се јавља у финансијама: ако су на штедњу уплаћена два иста износа у размаку од nn година, стање на рачуну зависи од q2n+qnq^{2n} + q^n, па се каматни фактор qq налази сменом qn=tq^n = t.

Две уплате на штедњу

Марија је уплатила 1.000.000 динара на штедњу, а после 3 године још 1.000.000 динара. Камата се приписује једном годишње, увек по истој стопи. Шест година после прве уплате на рачуну је 2.310.000 динара. Колика је годишња каматна стопа?

Решење

  1. Нека је qq годишњи фактор раста. Прва уплата расте 6 година, а друга 3, па је 1 000 000⋅(q6+q3)=2 310 0001\,000\,000 \cdot (q^6 + q^3) = 2\,310\,000, односно q6+q3−2,31=0q^6 + q^3 - 2{,}31 = 0.
  2. Смена q3=tq^3 = t: t2+t−2,31=0t^2 + t - 2{,}31 = 0, D=1+9,24=10,24=3,22D = 1 + 9{,}24 = 10{,}24 = 3{,}2^2, па је t=−1±3,22t = \frac{-1 \pm 3{,}2}{2}.
  3. Добијамо t1=1,1t_1 = 1{,}1 и t2=−2,1t_2 = -2{,}1. Фактор qq је позитиван, па је и q3>0q^3 > 0, а t2t_2 одбацујемо.
  4. Из q3=1,1q^3 = 1{,}1 следи q=1,13≈1,0323q = \sqrt[3]{1{,}1} \approx 1{,}0323.

Одговор: Годишња каматна стопа је око 3,23%: за сваке 3 године улог порасте за 10%.

Задатак за вежбу

Нађите сва реална решења једначине x6−7x3−8=0x^6 - 7x^3 - 8 = 0.

Прикажи решење

Смена x3=tx^3 = t: t2−7t−8=0t^2 - 7t - 8 = 0, t1=8t_1 = 8, t2=−1t_2 = -1. Реална решења су x=2x = 2 (из x3=8x^3 = 8) и x=−1x = -1 (из x3=−1x^3 = -1); преостала четири, −1±i3-1 \pm i\sqrt{3} и 1±i32\frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}, су комплексна.