Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Графици тригонометријских функција 3

Графици тригонометријских функција. Синус и косинус. Примена на сложеније примере.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)  Испитати функцју и скицирати њен график. y=−sin⁡(x+π2)−1y = - \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) - 1

Пр.2)   y=−2cos⁡(x−π2)+1y = - 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + 1

Пр.1) У овом задатку потребно испитати функцју y=−sin⁡(x+π2)−1y = - \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) - 1 и скицирати њен график.

  1. Нацртаћемо график функције y=sin⁡xy = \sin x
  2. Затим померамо график функције y=sin⁡xy = \sin x лево за  π2{\frac{\pi }{2}}. Добићемо график функције y=sin⁡(x+π2)y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)
  3. Затим обрћемо график функције y=sin⁡(x+π2)y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) око xx - осе. Добићемо график функције y=−sin⁡(x+π2)y = - \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right).
  4. Спуштамо график функције y=−sin⁡(x+π2)y = - \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) за 1. Добићемо график функције y=−sin⁡(x+π2)−1y = - \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) - 1.

13

  1. Df:R{D_f}:\mathbb{R}
  2. Df‾:[−2;0]\overline {{D_f}} :\left[ { - 2;0} \right]
  3. Нуле функције: y=0y = 0 кад x=π+2πk,k∈Zx = \pi + 2\pi k,k \in \mathbb{Z}
  4. Функција је парна јер је симетрична у односу на yy - осу.
  5. Функција је периодична са периодом ω=2π\omega = 2\pi.

  6. Екстремуми функције

    • ymax⁡=0{y_{\max }} = 0 кад x=π+2πk,k∈Zx = \pi + 2\pi k,k \in \mathbb{Z} 

    • ymin⁡=−2{y_{\min }} = - 2 кад x=2πk,k∈Zx = 2\pi k,k \in \mathbb{Z}
  7. Знак функције y<0∀x∈R\{π+2πk,k∈Z}y < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + 2\pi k,k \in \mathbb{Z}} \right\}

  8. Функција је растућа кад x∈(0+2kπ;π+2kπ)x \in \left( {0 + 2k\pi ;\pi + 2k\pi } \right) Функција је опадајућа кад x∈(π+2kπ;2π+2kπ)x \in \left( {\pi + 2k\pi ;2\pi + 2k\pi } \right)

Пр.2)  y=−2cos⁡(x−π2)+1y = - 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + 1.

  1. Нацртаћемо график функције y=cos⁡xy = \cos x
  2. Затим померамо график функције y=cos⁡xy = \cos x десноза  π2{\frac{\pi }{2}}. Добићемо график функције y=cos⁡(x−π2)y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)
  3. Затим сваку тачку графика функције y=cos⁡(x−π2)y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) множемо са -2. Добићемо график функције y=−2cos⁡(x−π2)y = - 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right).
  4. Подижемо график функције y=−2cos⁡(x−π2)y = - 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) за 1. Добићемо график функције y=−2cos⁡(x−π2)+1y = - 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + 1.

14

График функције y=Asin⁡(x+φ)+cy = A\sin(x + \varphi) + c, или исте функције са косинусом, цртате из основног графика у корацима. Прво га померите по оси xx: за +φ+\varphi улево, за −φ-\varphi удесно. Затим помножите вредности са AA: ∣A∣|A| је амплитуда, а негативно AA обрће график око осе xx. На крају га подигните за cc, или спустите ако је c<0c < 0. Скуп вредности је [c−∣A∣,c+∣A∣][c - |A|, c + |A|], а период остаје 2π2\pi.

Пре цртања упростите израз кад је то могуће: −sin⁡(x+π2)−1=−cos⁡x−1-\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 1 = -\cos x - 1. Са готовог графика читате нуле, екстремуме, знак, монотоност и парност. Честа грешка је померање на погрешну страну: sin⁡(x+π2)\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) је померен улево.

−3,143,14−3−2−11230xyy = cy = sin xy = A sin(x + φ) + c
2
−1
−1
Највећа вредност
0
Најмања вредност
−2
На почетку је график из првог задатка, y=−sin⁡(x+π2)−1y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 1. Мењајте клизаче један по један: kk помера синусоиду по оси xx за k⋅π4k \cdot \frac{\pi}{4}, AA је растеже или обрће, а cc је подиже и спушта. Испрекидана крива је y=sin⁡xy = \sin x.

Синусоиде са помаком и амплитудом описују кретање педала, клипова у мотору и кабина на панорамском точку; инжењери са графика читају највећу и најмању висину и тренутке кад се оне достижу.

Педала бицикла

Бициклиста окреће педале брзином од једног пуног круга у секунди. Полуга педале дугачка је 17 cm, а осовина педала је 28 cm изнад земље. Ако педала крене из најниже тачке, њена висина у центиметрима после tt секунди је h(t)=28−17cos⁡(2πt)h(t) = 28 - 17\cos(2\pi t). Опишите како се тај график добија од графика y=cos⁡xy = \cos x, па одредите најмању и највећу висину педале и њену висину после 13\frac{1}{3} s.

Решење

  1. Почињемо од y=cos⁡xy = \cos x. Аргумент 2πt2\pi t сабија график, па је период 2π2π=1\frac{2\pi}{2\pi} = 1 s, колико траје један круг.
  2. Множење са 17 даје амплитуду 17 cm, а знак минус обрће график око осе: у t=0t = 0 функција креће из минимума, као педала из најниже тачке.
  3. Додавање 28 подиже график за 28, па је средња линија h=28h = 28, а скуп вредности [28−17,28+17]=[11,45][28 - 17, 28 + 17] = [11, 45].
  4. После 13\frac{1}{3} s: h=28−17cos⁡2π3=28−17⋅(−12)=36,5h = 28 - 17\cos\frac{2\pi}{3} = 28 - 17 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 36{,}5 cm.

Одговор: Педала се креће између 11 cm и 45 cm изнад земље, један круг траје 1 s, а после трећине секунде педала је на 36,5 cm.

Задатак за вежбу

Одредите скуп вредности, период и тачке максимума и минимума функције y=−2sin⁡(x+π4)+1y = -2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1.

Прикажи решење

Скуп вредности је [−1,3][-1, 3], период 2π2\pi. Максимум 3 је кад је sin⁡(x+π4)=−1\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -1, тј. за x=5π4+2kπx = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi; минимум −1-1 кад је синус 1, тј. за x=π4+2kπx = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.