Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Тригонометријске неједначине 1

Тригонометријске неједначине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 2sin⁡x−2>02\sin x - \sqrt 2 > 0

Пр.2 2cos⁡x+1>02\cos x + 1 > 0

Пр.3 tgx+1<0tgx + 1 < 0

Пр.4 −2sin⁡x−3<0- 2\sin x - \sqrt 3 < 0

Пр.5 sin⁡(3π2−x)>32\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) > \frac{{\sqrt 3 }}{2}

Пр.1

2sin⁡x−2>02sin⁡x>2sin⁡x>22x∈(π4+2kπ,3π4+2kπ),k∈Z\begin{aligned}&2\sin x - \sqrt 2 > 0 \\ &2\sin x > \sqrt 2 \\ &\sin x > \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ &x \in \left( {\frac{\pi }{4} + 2k\pi ,\frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\end{aligned}

Пр.2

2cos⁡x+1>02cos⁡x>−1cos⁡x>−12x∈(0+2kπ,2π3+2kπ)∪(4π3+2kπ,2π+2kπ),k∈Z\begin{aligned}&2\cos x + 1 > 0 \\ &2\cos x > - 1 \\ &\cos x > - \frac{1}{2} \\ &x \in \left( {0 + 2k\pi ,\frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi } \right) \cup \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2k\pi ,2\pi + 2k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\end{aligned}

Пр.3

tgx+1<0tgx<−1x∈(π2+kπ,3π4+kπ),k∈Z\begin{aligned}&tgx + 1 < 0 \\ &tgx < - 1 \\ &x \in \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\end{aligned}

Пр.4

−2sin⁡x−3<0−2sin⁡x<3sin⁡x>−32x∈(0+2kπ,4π3+2kπ)∪(5π3+2kπ,2π+2kπ),k∈Z\begin{aligned}&- 2\sin x - \sqrt 3 < 0 \\ &- 2\sin x < \sqrt 3 \\ &\sin x > - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ &x \in \left( {0 + 2k\pi ,\frac{{4\pi }}{3} + 2k\pi } \right) \cup \left( {\frac{{5\pi }}{3} + 2k\pi ,2\pi + 2k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\end{aligned}

Пр.5

(3π2−x)>32\left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) > \frac{{\sqrt 3 }}{2}

π3+2kπ<3π2−x<2π3+2kπ\frac{\pi }{3} + 2k\pi < \frac{{3\pi }}{2} - x < \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi

3π2−x>π3+2kπ\frac{{3\pi }}{2} - x > \frac{\pi }{3} + 2k\pi∩\cap3π2−x<2π3+2kπ\frac{{3\pi }}{2} - x < \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi
−x>π3−3π2+2kπ- x > \frac{\pi }{3} - \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi −x<2π3−3π2+2kπ- x < \frac{{2\pi }}{3} - \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi
−x>−7π6+2kπ∣⋅(−1)- x > - \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi \left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. −x<−5π6+2kπ∣⋅(−1)- x < - \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right.
x<7π6−2kπ,k∈Zx < \frac{{7\pi }}{6} - 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} x>5π6−2kπ,k∈Zx > \frac{{5\pi }}{6} - 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}

x∈(5π6−2kπ;7π6−2kπ),k∈Zx \in \left( {\frac{{5\pi }}{6} - 2k\pi ;\frac{{7\pi }}{6} - 2k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}

Тригонометријску неједначину решавате на кружници или на графику. Прво је сведите на облик sin⁡x>a\sin x > a, cos⁡x<a\cos x < a или tg⁡x<a\operatorname{tg} x < a. Затим нађите углове у којима важи једнакост, на пример sin⁡x=22\sin x = \frac{\sqrt 2}{2} за π4\frac{\pi}{4} и 3π4\frac{3\pi}{4}, и прочитајте лук на коме неједнакост важи: π4+2kπ<x<3π4+2kπ\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi. Код синуса и косинуса додајете 2kπ2k\pi, а код тангенса kπk\pi; један крај интервала код тангенса увек је асимптота.

Множење или дељење негативним бројем окреће знак неједнакости, а решење увек проверите једном тачком из добијеног интервала. Ако лук прелази преко 00, запишите га као један интервал: cos⁡x>−12\cos x > -\frac{1}{2} важи за −2π3+2kπ<x<2π3+2kπ-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi.

1,573,144,716,28−1,5−1−0,50,510xyy = ay = sin x
−0,5
Почетак интервала
3,665
Крај интервала
5,76
Део периода
33,3%
Осенчен је део периода где је sin⁡x<a\sin x < a. За a=−12a = -\frac{1}{2} то је интервал од 7π6≈3,67\frac{7\pi}{6} \approx 3{,}67 до 11π6≈5,76\frac{11\pi}{6} \approx 5{,}76, трећина периода. Крајеви су празни кружићи, јер је неједнакост строга.

Тригонометријске неједначине одговарају на питање „колико дуго“: колики део обрта је лопатица воденичног кола под водом или колики део периода напон у мрежи прелази задату вредност.

Воденично коло

Воденично коло има полупречник 2 m, а осовина му је 1 m изнад воде. Коло се окреће равномерно и направи круг за 10 s. Висина врха једне лопатице после tt секунди је h=1+2sin⁡πt5h = 1 + 2\sin\frac{\pi t}{5} у метрима, а негативна висина значи да је лопатица под водом. Колико дуго је лопатица под водом током једног круга?

Решење

  1. Лопатица је под водом кад је 1+2sin⁡πt5<01 + 2\sin\frac{\pi t}{5} < 0, односно sin⁡πt5<−12\sin\frac{\pi t}{5} < -\frac{1}{2}.
  2. На кружници је sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2} за x=7π6x = \frac{7\pi}{6} и x=11π6x = \frac{11\pi}{6}, а синус је мањи од −12-\frac{1}{2} на луку између њих: 7π6+2kπ<πt5<11π6+2kπ\frac{7\pi}{6} + 2k\pi < \frac{\pi t}{5} < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi.
  3. Множимо са 5π\frac{5}{\pi}: 356+10k<t<556+10k\frac{35}{6} + 10k < t < \frac{55}{6} + 10k. У првом кругу то је од око 5,83 s до око 9,17 s.
  4. Трајање је 556−356=103≈3,33\frac{55}{6} - \frac{35}{6} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 s, тачно трећина круга.

Одговор: Лопатица је у сваком кругу под водом приближно 3,33 s, у првом кругу од 5,83 s до 9,17 s после поласка.

Задатак за вежбу

Решите неједначину 2cos⁡x−3<02\cos x - \sqrt 3 < 0.

Прикажи решење

cos⁡x<32\cos x < \frac{\sqrt 3}{2}. Једнакост важи за π6\frac{\pi}{6} и 11π6\frac{11\pi}{6}, а косинус је мањи на луку између њих: π6+2kπ<x<11π6+2kπ\frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.