Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Адиционе формуле 1

Адиционе формуле. Примена на једноставне примере.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Израчунати:

Пр.1   sin⁡105∘=\sin 105^\circ =

Пр.2   tg15∘=tg15^\circ =

Одредити вредност следећег израза:

Пр.3  cos⁡π7⋅sin⁡8π7−sin⁡π7⋅cos⁡8π7=\cos \frac{\pi }{7} \cdot \sin \frac{{8\pi }}{7} - \sin \frac{\pi }{7} \cdot \cos \frac{{8\pi }}{7} =

Пр.4  sin⁡35∘⋅cos⁡20∘+cos⁡35∘⋅sin⁡20∘cos⁡46∘⋅cos⁡29∘−sin⁡46∘⋅sin⁡29∘=\frac{{\sin 35^\circ \cdot \cos 20^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 20^\circ }}{{\cos 46^\circ \cdot \cos 29^\circ - \sin 46^\circ \cdot \sin 29^\circ }} =

Пр.1 

sin⁡105∘=sin⁡(60∘+45∘)==sin⁡60∘⋅cos⁡45∘+cos⁡60∘⋅sin⁡45∘==32⋅22+12⋅22=64+24=6+24\begin{aligned}&\sin 105^\circ = \sin \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = \\ &= \sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ = \\ &= \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\end{aligned}

Пр.2

tg15∘=tg(60∘−45∘)=tg60∘−tg45∘1+tg60∘tg45∘==3−11+3⋅1⋅3−13−1=3−3−1+312−(3)2=23−4−2==−2(2−3)−2=2−3\begin{aligned}&tg15^\circ = tg\left( {60^\circ - 45^\circ } \right) = \frac{{tg60^\circ - tg45^\circ }}{{1 + tg60^\circ tg45^\circ }} = \\ &= \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{1 + \sqrt 3 \cdot 1}} \cdot \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{\sqrt 3 - 3 - 1 + \sqrt 3 }}{{{1^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{2\sqrt 3 - 4}}{{ - 2}} = \\ &= \frac{{ - 2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{ - 2}} = 2 - \sqrt 3\end{aligned}

Пр.3

cos⁡π7⋅sin⁡8π7−sin⁡π7⋅cos⁡8π7==−(sin⁡π7⋅cos⁡8π7−cos⁡π7⋅sin⁡8π7)=−sin⁡(π7−8π7)==−sin⁡(−π)=sin⁡π=0\begin{aligned}&\cos \frac{\pi }{7} \cdot \sin \frac{{8\pi }}{7} - \sin \frac{\pi }{7} \cdot \cos \frac{{8\pi }}{7} = \\ &= - \left( {\sin \frac{\pi }{7} \cdot \cos \frac{{8\pi }}{7} - \cos \frac{\pi }{7} \cdot \sin \frac{{8\pi }}{7}} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{7} - \frac{{8\pi }}{7}} \right) = \\ &= - \sin \left( { - \pi } \right) = \sin \pi = 0\end{aligned}

Пр.4

sin⁡35∘⋅cos⁡20∘+cos⁡35∘⋅sin⁡20∘cos⁡46∘⋅cos⁡29∘−sin⁡46∘⋅sin⁡29∘=sin⁡(35∘−20∘)cos⁡(46∘+29∘)==sin⁡15∘cos⁡75∘=sin⁡(60∘−45∘)cos⁡(30∘+45∘)==sin⁡60∘⋅cos⁡45∘−cos⁡60∘⋅sin⁡45∘cos⁡30∘⋅cos⁡45∘−sin⁡30∘⋅sin⁡45∘=32⋅22−12⋅2232⋅22−12⋅22=1\begin{aligned}&\frac{{\sin 35^\circ \cdot \cos 20^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 20^\circ }}{{\cos 46^\circ \cdot \cos 29^\circ - \sin 46^\circ \cdot \sin 29^\circ }} = \frac{{\sin \left( {35^\circ - 20^\circ } \right)}}{{\cos \left( {46^\circ + 29^\circ } \right)}} = \\ &= \frac{{\sin 15^\circ }}{{\cos 75^\circ }} = \frac{{\sin \left( {60^\circ - 45^\circ } \right)}}{{\cos \left( {30^\circ + 45^\circ } \right)}} = \\ &= \frac{{\sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ - \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ }}{{\cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \sin 30^\circ \cdot \sin 45^\circ }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 1\end{aligned}

Адиционе формуле изражавају синус, косинус и тангенс збира или разлике два угла преко функција тих углова: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta, cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta и tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡αtg⁡β\operatorname{tg} (\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}. Код синуса је знак између производа исти као између углова, а код косинуса супротан.

Највише их користите за тачне вредности углова којих нема у таблици, али се могу написати као збир или разлика познатих углова: 105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ, 15∘=60∘−45∘15^\circ = 60^\circ - 45^\circ, 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ. Тако је sin⁡105∘=6+24\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. Формуле важе и уназад: кад у задатку видите израз као sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, сажмите га у sin⁡(α+β)\sin (\alpha + \beta). На овим формулама почивају и све касније: формуле двоструког угла, полуугла и претварања збира у производ. Најчешћа грешка је sin⁡(α+β)=sin⁡α+sin⁡β\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha + \sin \beta.

αβOAB
60°
45°
sin (α + β)
0,9659
sin α cos β + cos α sin β
0,9659
sin α + sin β (погрешно)
1,5731
Прва два броја су увек једнака: то је адициона формула. Трећи, sin⁡α+sin⁡β\sin \alpha + \sin \beta, од њих се разликује, јер синус збира није збир синуса.

Инжењери и програмери адиционим формулама рачунају где ће се наћи тачка после два узастопна обртања, на пример врх крака робота или камера на покретном носачу.

Надстрешница од лима

Лимена надстрешница изнад улаза у кућу у Шапцу има нагиб од 15∘15^\circ, а хоризонтално је дугачка 1,6 m. Колика је висинска разлика између њене више и ниже ивице? Израчунајте тачно, без калкулатора.

Решење

  1. Висинска разлика је наспрамна катета: h=1,6⋅tg⁡15∘h = 1{,}6 \cdot \operatorname{tg} 15^\circ, а 15∘=60∘−45∘15^\circ = 60^\circ - 45^\circ.
  2. tg⁡15∘=tg⁡60∘−tg⁡45∘1+tg⁡60∘tg⁡45∘=3−13+1\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{\operatorname{tg} 60^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ}{1 + \operatorname{tg} 60^\circ \operatorname{tg} 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}.
  3. Рационалишемо са 3−1\sqrt{3} - 1: (3−1)23−1=4−232=2−3≈0,268\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268.
  4. h=1,6⋅(2−3)≈0,43h = 1{,}6 \cdot (2 - \sqrt{3}) \approx 0{,}43 m.

Одговор: Виша ивица надстрешнице је око 43 cm изнад ниже.

Задатак за вежбу

Израчунајте тачно cos⁡75∘\cos 75^\circ и вредност израза sin⁡50∘cos⁡20∘−cos⁡50∘sin⁡20∘\sin 50^\circ \cos 20^\circ - \cos 50^\circ \sin 20^\circ.

Прикажи решење

cos⁡75∘=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘=6−24\cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, а израз је sin⁡(50∘−20∘)=sin⁡30∘=12\sin (50^\circ - 20^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.