Тригонометријске једначине 3

Тригонометријске једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.9) $8{\cos ^2}x + 6\sin x - 3 = 0$

Пр.10) $\sin 6x + \sin 4x = 0$

Пр.11) $\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x = 0$

Пр.9)

$8{\cos ^2}x + 6\sin x - 3 = 0$

$8\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 6\sin x - 3 = 0$

$\sin x = t$

$8\left( {1 - {t^2}} \right) + 6t - 3 = 0$

$8 - 8{t^2} + 6t - 3 = 0$

$- 8{t^2} + 6t + 5 = 0$

${t_{1,2}} = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {36 + 160} }}{{ - 16}} = \frac{{ - 6 \pm 14}}{{ - 16}}$

${t_1} = \frac{{ - 20}}{{ - 16}}$	${t_2} = \frac{8}{{ - 16}}$
${t_1} = \frac{5}{4}$	${t_2} = - \frac{1}{2}$
$\sin x = \frac{5}{4} > 1$	$\sin x = - \frac{1}{2}$
нема решења	${x_1} = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
	${x_2} = \frac{{11\pi }}{6} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Пр.10)

$\sin 6x + \sin 4x = 0$

$\boxed{\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}}$

$2\sin 5x \cdot \cos x = 0$

$\sin 5x = 0$ или	$\cos x = 0$
$5x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$	$x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{{k\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}$

Пр.11)

$\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x = 0$

$\left( {\sin x + \sin 3x} \right) - \left( {\sin 2x + \sin 4x} \right) = 0$

$2\sin 2x\cos \left( { - x} \right) - 2\sin 3x\cos \left( { - x} \right) = 0$

$\cos x\left( {\sin 2x - \sin 3x} \right) = 0$

\cos x = 0

или

\sin 2x - \sin 3x = 0

x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}

2\cos \frac{{5x}}{2}\sin \left( { - \frac{x}{2}} \right) = 0

\cos \frac{{5x}}{2} = 0

или

\sin \left( { - \frac{x}{2}} \right) = 0

\frac{{5x}}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}

- \sin \frac{x}{2} = 0

x = \frac{\pi }{5} + \frac{{2k\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}

\frac{x}{2} = k\pi ,k \in \mathbb{Z}

\frac{x}{2} = k\pi ,k \in \mathbb{Z}

x = 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}

Сложеније једначине своде се на основне сменом или растављањем на чиниоце. Ако се у једначини јављају $\sin x$ и $\cos^2 x$ , замените $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и уведите смену $t = \sin x$ : тако $8\cos^2 x + 6\sin x - 3 = 0$ постаје $-8t^2 + 6t + 5 = 0$ . Решења квадратне једначине обавезно проверите: $t = \frac{5}{4}$ отпада јер је $|\sin x| \le 1$ , а $t = -\frac{1}{2}$ даје $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$ .

Збир синуса претварате у производ, $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ , а кад има четири сабирка, прво их групишите по два и из заграда извуците заједнички чинилац, као $2\cos x$ . Честа грешка је задржати решење смене које је по апсолутној вредности веће од 1.

Угао α30°

Висина млаза код зида: 2,44 m
tg α: 0,58

Мењајте угао док висина млаза код зида не буде 5 m. То се дешава два пута, за

\operatorname{tg}\alpha = 1

и

\operatorname{tg}\alpha = 3

, односно за

45^\circ

и око

71{,}6^\circ

: то су два решења квадратне једначине

t^2 - 4t + 3 = 0

.

Квадратна једначина по $\operatorname{tg}\alpha$ добија се у балистици и спорту: кад се тражи угао под којим млаз воде, лопта или пројектил треба да погоди циљ, обично постоје два решења, положени и стрми хитац.

Ватрогасни млаз

Ватрогасац стоји 10 m од зграде и усмерава млаз воде брзином од 14 m/s ка прозору на висини од 5 m изнад млазнице. Ако се отпор ваздуха занемари, млаз на хоризонталном растојању $x$ има висину $y = x\operatorname{tg}\alpha - \frac{g x^2}{2v^2\cos^2\alpha}$ , где је $g = 9{,}8$ m/s². Под којим углом $\alpha$ треба да усмери млаз?

Решење

Убацимо $x = 10$ , $y = 5$ и $v = 14$ : $\frac{g x^2}{2v^2} = \frac{9{,}8 \cdot 100}{2 \cdot 196} = 2{,}5$ , па је $5 = 10\operatorname{tg}\alpha - \frac{2{,}5}{\cos^2\alpha}$ .
Користимо $\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \operatorname{tg}^2\alpha$ и смену $t = \operatorname{tg}\alpha$ : $5 = 10t - 2{,}5(1 + t^2)$ , односно $t^2 - 4t + 3 = 0$ .
Решења су $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$ . Оба су прихватљива, јер тангенс може имати сваку вредност.
Из $\operatorname{tg}\alpha = 1$ следи $\alpha = 45^\circ$ , а из $\operatorname{tg}\alpha = 3$ следи $\alpha \approx 71{,}6^\circ$ . Од свих решења $\alpha = \operatorname{arctg} t + k \cdot 180^\circ$ смисла имају само она између $0^\circ$ и $90^\circ$ .

Одговор: Млаз погађа прозор под углом од $45^\circ$ или под стрмијим углом од приближно $71{,}6^\circ$ .

Задатак за вежбу

Решите једначину $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$ .

Прикажи решење

Са $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и $t = \sin x$ добија се $2t^2 - 3t + 1 = 0$ , па је $t = 1$ или $t = \frac{1}{2}$ . Решења: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .