Експоненцијалне једначине 2

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијалну једначину.

пр.5)   $10 \cdot {2^x} - {4^x} = 16$

пр.6)   ${5^{2x - 1}} + {5^{x + 1}} = 250$

пр.7)   ${4^{\frac{2}{x}}} - 5 \cdot {4^{\frac{1}{x}}} = - 4$

пр.8)   ${4^{\sqrt {x - 2} }} + 16 = 10 \cdot {2^{\sqrt {x - 2} }}$

Пр.5

$$\begin{aligned}&10 \cdot {2^x} - {4^x} = 16 \\ &10 \cdot {2^x} - {\left( {{2^2}} \right)^x} = 16 \\ &10 \cdot {2^x} - {\left( {{2^x}} \right)^2} = 16 \\ &смена:{2^x} = t \\ &10t - {t^2} = 16 \\ &- {t^2} + 10t - 16 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 10 \pm \sqrt {100 - 64} }}{{ - 2}} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 10 \pm 6}}{{ - 2}} \\ &{t_1} = 8 \\ &{2^x} = 8 \\ &{2^x} = {2^3} \\ &x = 3 \\ &{t_2} = 2 \\ &{2^x} = 2 \\ &{2^x} = {2^1} \\ &x = 1 \\ &x = \left\{ {1;3} \right\}\end{aligned}$$

Пр.6

$$\begin{aligned}&{5^{2x - 1}} + {5^{x + 1}} = 250 \\ &{5^{2x}} \cdot {5^{ - 1}} + {5^x} \cdot {5^1} = 250 \\ &\frac{{{5^{2x}}}}{5} + {5^x} \cdot {5^1} = 250 \\ &смена:{5^x} = t \\ &\frac{{{t^2}}}{5} + 5t = 250\left| { \cdot 5} \right. \\ &{t^2} + 25t = 1250 \\ &{t^2} + 25t - 1250 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 25 \pm \sqrt { - 25 + 4 \cdot 1250} }}{2} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 25 \pm 75}}{2} \\ &{t_1} = - 50 \\ &{5^x} = - 50\end{aligned}$$

ова експоненцијална једначина нема решења (експоненцијална функција је увек позитивна)

$$\begin{aligned}&{t_2} = 25 \\ &{5^x} = {5^2} \\ &x = 2\end{aligned}$$

Пр.7

$$\begin{aligned}&{4^{\frac{2}{x}}} - 5 \cdot {4^{\frac{1}{x}}} = - 4 \\ &{\left( {{4^{\frac{1}{x}}}} \right)^2} - 5 \cdot {4^{\frac{1}{x}}} = - 4 \\ &смена:{4^{\frac{1}{x}}} = t \\ &{t^2} - 5t + 4 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{5 \pm \sqrt {25 - 16} }}{2} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{5 \pm 3}}{2} \\ &{t_1} = 1 \\ &{4^{\frac{1}{x}}} = 1 \\ &{4^{\frac{1}{x}}} = {4^0} \\ &\frac{1}{x} = 0 \\ &1 = 0 \cdot x\end{aligned}$$

нема решења

$$\begin{aligned}&{t_2} = 4 \\ &{4^{\frac{1}{x}}} = {4^1} \\ &\frac{1}{x} = 1 \\ &x = 1\end{aligned}$$

Пр.8

$$\begin{aligned}&{4^{\sqrt {x - 2} }} + 16 = 10 \cdot {2^{\sqrt {x - 2} }} \\ &{\left( {{2^2}} \right)^{\sqrt {x - 2} }} + 16 = 10 \cdot {2^{\sqrt {x - 2} }} \\ &смена:{2^{\sqrt {x - 2} }} = t \\ &{t^2} + 16 = 10t \\ &{t^2} - 10t + 16 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{10 \pm \sqrt {100 - 64} }}{2} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{10 \pm 6}}{2} \\ &{t_1} = 2 \\ &{2^{\sqrt {x - 2} }} = {2^1} \\ &\sqrt {x - 2} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x - 2 \geqslant 0 \\ &x - 2 = 1\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x \geqslant 2 \\ &x = 3\end{aligned} \right. \\ &{t_2} = 8 \\ &{2^{\sqrt {x - 2} }} = {2^3} \\ &\sqrt {x - 2} = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x - 2 \geqslant 0 \\ &x - 2 = 9\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x \geqslant 2 \\ &x = 11\end{aligned} \right. \\ &x = \left\{ {3;11} \right\}\end{aligned}$$