Комплексни бројеви 2

Комплексни број. Скуп комплексних бројева, реални и имагинарни део, модуо комплексног броја.Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Одреди реални и имагинарни део комплексног броја.

$z = 5 + 3i$ ; $z = 2 - i$ ; $z = \sqrt 3 + i$ ; $z = - 4i$ ; $z = - \sqrt 7$

Пр.2 Одреди модуо датог комплексног броја и коњуговано комплексни

број.

$z = 3 + 4i$ $\left| z \right| = ?$ $\overline z = ?$

Пр.3 $z = 2 - \sqrt 5i$ $\left| z \right| = ?$ $\overline z = ?$

Пр.4 $z = - 4i + 1$ $\left| z \right| = ?$ $\overline z = ?$

Пр. 1

$\begin{aligned}&z{\text{ }} = {\text{ }}5{\text{ }} + {\text{ }}3i \\ &\operatorname{Re} \left( z \right) = 5 \\ &\operatorname{Im} \left( z \right) = 3 \\ & \\ &z{\text{ }} = {\text{ }}2{\text{ }} - {\text{ }}i \\ &\operatorname{Re} \left( z \right) = 2 \\ &\operatorname{Im} \left( z \right) = - 1 \\ & \\ &z = \sqrt 3 + i \\ &\operatorname{Re} \left( z \right) = \sqrt 3 \\ &\operatorname{Im} \left( z \right) = 1 \\ & \\ &z{\text{ }} = {\text{ }} - {\text{ }}4i \\ &\operatorname{Re} \left( z \right) = 0 \\ &\operatorname{Im} \left( z \right) = - 4 \\ & \\ &z = - \sqrt 7 \\ &\operatorname{Re} \left( z \right) = - \sqrt 7 \\ &\operatorname{Im} \left( z \right) = 0\end{aligned}$

Пр. 2

$\begin{aligned}&z{\text{ }} = {\text{ }}3{\text{ }} + {\text{ }}4i \\ &\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} \\ &\left| z \right| = \sqrt {9 + 16} \\ &\left| z \right| = \sqrt {25} \\ &\left| z \right| = 5 \\ &\bar z = 3 - 4i\end{aligned}$

Пр. 3

$\begin{aligned}&z = 2 - \sqrt 5 i \\ &\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^2}} \\ &\left| z \right| = \sqrt {4 + 5} \\ &\left| z \right| = \sqrt 9 \\ &\left| z \right| = 3 \\ &\bar z = 2 + \sqrt 5 i\end{aligned}$

Пр. 4

$\begin{aligned}&z{\text{ }} = {\text{ }} - {\text{ }}4i{\text{ }} + {\text{ }}1 \\ &\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \\ &\left| z \right| = \sqrt {1 + 16} \\ &\left| z \right| = \sqrt {17} \\ &\bar z = 4i + 1\end{aligned}$

Комплексан број $z = a + bi$ има реални део $\operatorname{Re}(z) = a$ и имагинарни део $\operatorname{Im}(z) = b$ . Имагинарни део је реалан број $b$ , без $i$ . Тако је за $z = 4 - 7i$ : $\operatorname{Re}(z) = 4$ , $\operatorname{Im}(z) = -7$ , а број $z = -2i$ има реални део 0. Сваком комплексном броју одговара тачка $(a, b)$ у комплексној равни. Модуо $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ је растојање те тачке од координатног почетка. Конјуговано комплексан број $\bar z = a - bi$ има исти реални, а супротан имагинарни део: то је тачка симетрична у односу на реалну осу, па је $|\bar z| = |z|$ . Честа грешка је да се у модуо унесе $i$ : за $z = 2 - 5i$ је $|z| = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$ , а не $\sqrt{4 - 25}$ .

Re(z): 12
Im(z): 5
|z|: 13
Im(z̄): −5

Тачка

\bar z

је увек огледална слика тачке

z

у односу на реалну осу: реални део остаје исти, имагинарни мења знак. Модуо је дужина дужи од координатног почетка, па

z

и

\bar z

имају исти модуо. Пробајте

z = 12 + 5i

из примера.

Комплексна раван служи као мапа: инжењери положај, брзину или сигнал записују једним комплексним бројем, а модуо им даје растојање или јачину.

Шатори на мапи кампа

На мапи извиђачког кампа на Фрушкој гори координатни почетак је јарбол са заставом, реална оса показује исток, имагинарна север, а јединица је 100 m. Шатор једне групе је у тачки $z = 12 + 5i$ . Колико је шатор удаљен од јарбола? Где је шатор друге групе, постављен симетрично у односу на стазу исток–запад кроз јарбол?

Решење

$\operatorname{Re}(z) = 12$ значи 1200 m источно од јарбола, а $\operatorname{Im}(z) = 5$ значи 500 m северно.
Удаљеност је модуо: $|z| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ .
13 јединица по 100 m је 1300 m.
Тачка симетрична у односу на реалну осу је конјуговано комплексан број $\bar z = 12 - 5i$ : 1200 m источно и 500 m јужно, такође 1300 m од јарбола.

Одговор: Шатор је 1,3 km од јарбола, а други шатор је у тачки $\bar z = 12 - 5i$ , исто 1,3 km од јарбола.

Задатак за вежбу

Одредите $\operatorname{Re}(z)$ , $\operatorname{Im}(z)$ , $|z|$ и $\bar z$ за $z = -6 + 8i$ и за $z = \sqrt 7 - 3i$ .

Прикажи решење

За $z = -6 + 8i$ : $-6$ , $8$ , $|z| = \sqrt{36 + 64} = 10$ , $\bar z = -6 - 8i$ . За $z = \sqrt 7 - 3i$ : $\sqrt 7$ , $-3$ , $|z| = \sqrt{7 + 9} = 4$ , $\bar z = \sqrt 7 + 3i$ .