Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Комплексни бројеви 3

Комплексни број. Сабирање и одузимање комплексних бројева. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1   Одредити збир и разлику датих комплексних бројева.

           z1=5−3i{z_1} = 5 - 3i   z2=−4+7i{z_2} = - 4 + 7i      z1+z2=?{z_1} + {z_2} = ?  z1−z2=?{z_1} - {z_2} = ?

Пр.2   Одредити збир и разлику датих комплексних бројева.

           z1=1−23+4i{z_1} = 1 - 2\sqrt 3 + 4i   z2=3−5−23i{z_2} = \sqrt 3 - 5 - 2\sqrt 3 i   

           z1+z2=?{z_1} + {z_2} = ?   z1−z2=?{z_1} - {z_2} = ?   

Пр.3   Израчунати вредност израза.

           −75+2−108−i−12+348=\sqrt { - 75} + 2\sqrt { - 108} - i\sqrt { - 12} + 3\sqrt {48} =

Пр.4   Израчунати вредност израза.

           −83−2−0,04+−0,0643+−81=\sqrt[3]{{ - 8}} - 2\sqrt { - 0,04} + \sqrt[3]{{ - 0,064}} + \sqrt { - 81} =

Пр.1

z1= 5 − 3iz2= − 4 + 7iz1+ z2 = 5 − 3i− 4 + 7i=1+4iz1 - z2 = 5 − 3i−(− 4 + 7i)=5 − 3i+ 4 − 7i=9−10i\begin{aligned}&{z_1} = {\text{ }}5{\text{ }} - {\text{ }}3i \\ &{z_2} = {\text{ }} - {\text{ }}4{\text{ }} + {\text{ }}7i \\ &{z_1} + {\text{ }}{z_2}{\text{ = }}5{\text{ }} - {\text{ }}3i - {\text{ }}4{\text{ }} + {\text{ }}7i = 1 + 4i \\ &{z_1}{\text{ - }}{z_2}{\text{ = }}5{\text{ }} - {\text{ }}3i - \left( { - {\text{ }}4{\text{ }} + {\text{ }}7i} \right) = 5{\text{ }} - {\text{ }}3i + {\text{ }}4{\text{ }} - {\text{ }}7i = 9 - 10i\end{aligned}

Пр. 2

z1= 1 − 23+4iz2= 3 - 5 - 23 iz1+ z2 = 1 − 23+4i + 3 - 5 - 23 i=−4−3−4i−23i==(−4−3)+(4−23)i\begin{aligned}&{z_1} = {\text{ 1 }} - {\text{ 2}}\sqrt 3 + 4i \\ &{z_2} = {\text{ }}\sqrt 3 {\text{ - 5 - 2}}\sqrt 3 {\text{ i}} \\ &{z_1} + {\text{ }}{z_2}{\text{ = 1 }} - {\text{ 2}}\sqrt 3 + 4i{\text{ }} + {\text{ }}\sqrt 3 {\text{ - 5 - 2}}\sqrt 3 {\text{ i}} = - 4 - \sqrt 3 - 4i - 2\sqrt 3 i = \\ &= \left( { - 4 - \sqrt 3 } \right) + \left( {4 - 2\sqrt 3 } \right)i\end{aligned}

z1−z2=1−23+4i−(3−5−23i)==1−23+4i−3+5+23i==6−33+4i+23i=(6−33)+(4+23)i\begin{aligned}&{z_1} - {z_2} = 1 - 2\sqrt 3 + 4i - \left( {\sqrt 3 - 5 - 2\sqrt 3 i} \right) = \\ &= 1 - 2\sqrt 3 + 4i - \sqrt 3 + 5 + 2\sqrt 3 i = \\ &= 6 - 3\sqrt 3 + 4i + 2\sqrt 3 i = \left( {6 - 3\sqrt 3 } \right) + \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)i\end{aligned}

Пр. 3

−75+2−108−i−12+348==−1⋅25⋅3+2−1⋅36⋅3−i−1⋅4⋅3+33⋅16==−1253+2−1363−i−143+3316==i53+2i63−i223+33⋅4==53i+123i+23+123=173i+143\begin{aligned}&\sqrt { - 75} + 2\sqrt { - 108} - i\sqrt { - 12} + 3\sqrt {48} = \\ &= \sqrt { - 1 \cdot 25 \cdot 3} + 2\sqrt { - 1 \cdot 36 \cdot 3} - i\sqrt { - 1 \cdot 4 \cdot 3} + 3\sqrt {3 \cdot 16} = \\ &= \sqrt { - 1} \sqrt {25} \sqrt 3 + 2\sqrt { - 1} \sqrt {36} \sqrt 3 - i\sqrt { - 1} \sqrt 4 \sqrt 3 + 3\sqrt 3 \sqrt {16} = \\ &= i5\sqrt 3 + 2i6\sqrt 3 - {i^2}2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 \cdot 4 = \\ &= 5\sqrt 3 i + 12\sqrt 3 i + 2\sqrt 3 + 12\sqrt 3 = 17\sqrt 3 i + 14\sqrt 3\end{aligned}

Пр. 4

−83−2−0,04+−0,0643+−81==(−2)33−2i(0,2)2+(−0,4)33+i81==−2−2i⋅0,2+(−0,4)+i⋅9=−2−0,4i−0,4+9i=−2,4+8,6i\begin{aligned}&\sqrt[3]{{ - 8}} - 2\sqrt { - 0,04} + \sqrt[3]{{ - 0,064}} + \sqrt { - 81} = \\ &= \sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}} - 2i\sqrt {{{\left( {0,2} \right)}^2}} + \sqrt[3]{{{{\left( { - 0,4} \right)}^3}}} + i\sqrt {81} = \\ &= - 2 - 2i \cdot 0,2 + \left( { - 0,4} \right) + i \cdot 9 = - 2 - 0,4i - 0,4 + 9i = - 2,4 + 8,6i\end{aligned}

Комплексне бројеве сабирате и одузимате тако што посебно саберете, односно одузмете, реалне делове, а посебно имагинарне: (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i. При одузимању заграда мења знак оба дела умањиоца: (3+2i)−(1−4i)=2+6i(3 + 2i) - (1 - 4i) = 2 + 6i. У комплексној равни сабирање је сабирање вектора, по правилу паралелограма.

Кад у изразу има корена негативних бројева, прво сваки препишите помоћу ii: −50=i25⋅2=52i\sqrt{-50} = i\sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt 2 i и −0,09=0,3i\sqrt{-0{,}09} = 0{,}3i. Кубни корен негативног броја је реалан: −273=−3\sqrt[3]{-27} = -3. Ако се појави i⋅ii \cdot i, замените га са −1-1. На крају групишите реални и имагинарни део. Број као 3\sqrt 3, без ii, припада реалном делу, а 3i\sqrt 3 i имагинарном.

−4−2246810−22468100xyz₁z₂z₁ + z₂
z₁ + z₂, реални део
5
z₁ + z₂, имагинарни део
8
Збир z1+z2z_1 + z_2 је дијагонала паралелограма над z1z_1 и z2z_2, а координате се сабирају посебно. Укључите разлику: z1−z2z_1 - z_2 је вектор који z2z_2 доводи до z1z_1, премештен у координатни почетак.

Навигациони програми у авионима и дроновима сабирају брзину летелице и брзину ветра као векторе; кад су брзине записане као комплексни бројеви, то је обично сабирање реалних и имагинарних делова.

Дрон на ветру

Дрон лети брзином z1=8+6iz_1 = 8 + 6i у односу на ваздух (у m/s: 8 ка истоку, 6 ка северу), а ветар дува брзином z2=−3+2iz_2 = -3 + 2i. Којом брзином се дрон креће у односу на тло? Коју брзину у односу на ваздух треба да има да би се у односу на тло кретао тачно на север брзином 10i10i?

Решење

  1. Брзина у односу на тло је збир: z1+z2=(8−3)+(6+2)i=5+8iz_1 + z_2 = (8 - 3) + (6 + 2)i = 5 + 8i.
  2. Њен износ је модуо: ∣5+8i∣=25+64=89≈9,43|5 + 8i| = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \approx 9{,}43 m/s.
  3. За кретање на север тражимо ww за које је w+z2=10iw + z_2 = 10i, па је w=10i−(−3+2i)w = 10i - (-3 + 2i).
  4. Заграда мења знак оба дела: w=3+(10−2)i=3+8iw = 3 + (10 - 2)i = 3 + 8i.

Одговор: Дрон се у односу на тло креће брзином 5+8i5 + 8i, око 9,43 m/s; за лет тачно на север треба му брзина 3+8i3 + 8i у односу на ваздух.

Задатак за вежбу

За z1=−2+7iz_1 = -2 + 7i и z2=4−3iz_2 = 4 - 3i израчунајте z1+z2z_1 + z_2 и z1−z2z_1 - z_2, као и −36+−83−3−4\sqrt{-36} + \sqrt[3]{-8} - 3\sqrt{-4}.

Прикажи решење

z1+z2=2+4iz_1 + z_2 = 2 + 4i, z1−z2=−6+10iz_1 - z_2 = -6 + 10i. Израз: 6i+(−2)−3⋅2i=−26i + (-2) - 3 \cdot 2i = -2.