Логаритамске неједначине 1

Логаритми. Логаритамске неједначине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску неједначину.

пр.1) ${\log _2}x > 0$

пр.2) ${\log _{\frac{1}{{64}}}}x > - \frac{1}{2}$

пр.3) ${\log _x}125 < 3$

Пр.1

$\begin{aligned}&{\log _2}x > 0 \\ &\left\{ \begin{aligned}&x > 0 \\ &{\log _2}x > {\log _2}1\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x > 0 \\ &x > 1\end{aligned} \right. \\ &x \in \left( {1, + \infty } \right)\end{aligned}$

Пр.2

$\begin{aligned}&{\log _{\frac{1}{{64}}}}x > - \frac{1}{2} \\ &\left\{ \begin{aligned}&x > 0 \\ &{\log _{\frac{1}{{64}}}}x > - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{{64}}}}\frac{1}{{64}}\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x > 0 \\ &{\log _{\frac{1}{{64}}}}x > {\log _{\frac{1}{{64}}}}{\left( {\frac{1}{{64}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \\ &0 < a < 1 \\ &\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x > 0 \\ &x < {\left( {\frac{1}{{64}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x > 0 \\ &x < \sqrt {64}\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x > 0 \\ &x < 8\end{aligned} \right. \\ &x \in \left( {0;8} \right)\end{aligned}$

Пр.3

$\begin{aligned}&{\log _x}125 < 3 \\ & \\ &\left\{ \begin{aligned}&x > 0 \\ &x \ne 1 \\ &{\log _x}125 < 3{\log _x}x\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&x > 0 \\ &x \ne 1 \\ &{\log _x}125 < {\log _x}{x^3}\end{aligned} \right.\end{aligned}$

Размислимо o два случаја

$\begin{aligned}&\left. 1 \right)\left\{ \begin{aligned}&x > 1 \\ &x > 0 \\ &x \ne 1 \\ &{\log _x}125 < {\log _x}{x^3}\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x > 1 \\ &x > 0 \\ &x \ne 1 \\ &125 < {x^3}\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x > 1 \\ &x > 0 \\ &x \ne 1 \\ &5 < x\end{aligned} \right. \\ &x \in \left( {5; + \infty } \right) \\ & \\ &\left. 2 \right)\left\{ \begin{aligned}&0 < x < 1 \\ &x > 0 \\ &x \ne 1 \\ &{\log _x}125 < {\log _x}{x^3}\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&0 < x < 1 \\ &x > 0 \\ &x \ne 1 \\ &125 > {x^3}\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&0 < x < 1 \\ &x > 0 \\ &x \ne 1 \\ &5 > x\end{aligned} \right. \\ &x \in \left( {0;1} \right)\end{aligned}$

Решења су $x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$

Логаритамску неједначину решавате тако што обе стране напишете као логаритам исте основе, нпр. $0 = \log_2 1$ или $-\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{64}} 8$ , па упоредите аргументе. Ако је основа $a > 1$ , функција расте и знак неједнакости остаје: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x)$ . Ако је $0 < a < 1$ , функција опада и знак се окреће.

Увек додајте услов да су аргументи позитивни и решење пресеците са њим: $\log_{\frac{1}{64}} x > -\frac{1}{2}$ даје $0 < x < 8$ , а не $x < 8$ . Кад је непозната у основи, као у $\log_x 125 < 3$ , решавате два случаја, $x > 1$ и $0 < x < 1$ , јер смер неједнакости зависи од основе. Решења оба случаја на крају спојите у унију.

Основа a2

Број c1

Граница aᶜ: 2

Зелени део осе

x

чине решења неједначине

\log_a x > c

. За

a > 1

то су сви

x > a^c

, а за

0 < a < 1

знак се окреће, па су решења

0 < x < a^c

.

Стручњаци за безбедност јачину лозинке мере у битима, као $\log_2$ броја могућих лозинки, па логаритамском неједначином одређују колико знакова лозинка мора да има.

Довољно дуга лозинка

Лозинка се састоји само од малих слова енглеске абецеде, којих има 26. Њена јачина у битима је $\log_2 26^n$ , где је $n$ број знакова. Администратор система за електронско банкарство одлучио је да лозинке морају имати јачину од бар 60 бита. Колико најмање знакова мора да има лозинка? Узмите $\log_2 26 \approx 4{,}70$ .

Решење

Број 60 пишемо као логаритам исте основе: $60 = \log_2 2^{60}$ , па неједначина гласи $\log_2 26^n \ge \log_2 2^{60}$ .
Основа је $2 > 1$ , функција расте и знак остаје: $26^n \ge 2^{60}$ .
Логаритмујемо за основу 2: $n \log_2 26 \ge 60$ , па $n \ge \frac{60}{4{,}70} \approx 12{,}77$ .
Најмањи природан број је $n = 13$ . Провера: $13 \cdot 4{,}70 = 61{,}1 \ge 60$ , а $12 \cdot 4{,}70 = 56{,}4 < 60$ .

Одговор: Лозинка од малих слова мора да има најмање 13 знакова.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $\log_{\frac{1}{3}} (x - 2) > -2$ .

Прикажи решење

Услов: $x > 2$ . Пошто је $-2 = \log_{\frac{1}{3}} 9$ и основа $\frac{1}{3} < 1$ , знак се окреће: $x - 2 < 9$ , тј. $x < 11$ . Решење: $x \in (2, 11)$ .