Кореновање – теорија 1

Правила за кореновање објашњена на једноставним примерима.

За $a \ge 0$ и природне изложиоце важе следећа правила. Степен корена једнак је корену степена: $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$ , па је $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = \sqrt[3]{64} = 4$ . Изложилац корена и изложилац поткорене величине смете да помножите или поделите истим бројем: $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$ , на пример $\sqrt[6]{a^4} = \sqrt[3]{a^2}$ . Тако корене са различитим изложиоцима сводите на исти пре множења: $\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{9} \cdot \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{81} = 3$ . Корен корена има изложилац једнак производу изложилаца: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ , па је $\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2$ . Чинилац уводите под корен тако што га степенујете изложиоцем корена: $2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$ . Ова правила користите да израз сведете на један корен што мањег изложиоца.

Честа грешка је $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{4}$ . Корене прво сведите на исти изложилац: $\sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{32}$ .

Полустепени изнад ла4

Чинилац (¹²√2)ᵏ: 1,2599
Фреквенција: 554,4 Hz

После

k

полустепени фреквенција је

440 \cdot \left(\sqrt[12]{2}\right)^k = 440\sqrt[12]{2^k}

Hz. За

k = 4

корен се скраћује у

\sqrt[3]{2}

, за

k = 6

у

\sqrt{2}

, а за

k = 12

добијате тачно двоструку фреквенцију, 880 Hz.

У музици је однос фреквенција два суседна полустепена $\sqrt[12]{2}$ , па се интервали између тонова рачунају степеновањем и скраћивањем корена. Корен корена помаже и кад калкулатор има само тастер за квадратни корен: $\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$ .

Тонови на клавиру

У равномерном штимовању октава има 12 полустепени, а сваки полустепен множи фреквенцију са $\sqrt[12]{2}$ . Тон ла по камертону има 440 Hz. Колику фреквенцију има тон четири полустепена изнад њега, а колику тон шест полустепени изнад? Пре рачунања упростите корене.

Решење

Четири полустепена множе фреквенцију са $\left(\sqrt[12]{2}\right)^4 = \sqrt[12]{2^4}$ .
Изложиоце скратимо са 4: $\sqrt[12]{2^4} = \sqrt[3]{2}$ , па је $f_1 = 440\sqrt[3]{2} \approx 440 \cdot 1{,}2599 \approx 554{,}4$ Hz.
Шест полустепени: $\left(\sqrt[12]{2}\right)^6 = \sqrt[12]{2^6} = \sqrt{2}$ , па је $f_2 = 440\sqrt{2} \approx 622{,}3$ Hz.
Сам чинилац $\sqrt[12]{2}$ добијате као корен корена, јер је $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ : $\sqrt[12]{2} = \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{2}}} \approx 1{,}0595$ .

Одговор: Тон четири полустепена изнад ла има око 554,4 Hz, а тон шест полустепени изнад ла око 622,3 Hz.

Задатак за вежбу

Упростите: а) $\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt{a}$ , као један корен ( $a \ge 0$ ); б) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$ ; в) $\sqrt[6]{25}$ .

Прикажи решење

а) $\sqrt[6]{a^4} \cdot \sqrt[6]{a^3} = \sqrt[6]{a^7} = a\sqrt[6]{a}$ ; б) $\sqrt[6]{64} = 2$ ; в) $\sqrt[6]{5^2} = \sqrt[3]{5}$ .