Графици тригонометријских функција 2

Графици тригонометријских функција. Тангенс и котангенс. Једноставни примери.

Функција $y = \operatorname{tg} x$ дефинисана је за $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ : у тим тачкама је $\cos x = 0$ , а график има вертикалне асимптоте. Скуп вредности је $\mathbb{R}$ , основни период $\pi$ , нуле $x = k\pi$ , а између две суседне асимптоте функција стално расте. Функција $y = \operatorname{ctg} x$ није дефинисана за $x = k\pi$ , нуле су јој $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , период је такође $\pi$ , а између асимптота стално опада. Обе функције су непарне.

За $y = \operatorname{tg}(bx)$ период је $\frac{\pi}{|b|}$ , а не $\frac{2\pi}{|b|}$ као код синуса. Честа грешка је нацртати асимптоту само у $\frac{\pi}{2}$ и заборавити да се понавља на сваких $\pi$ .

Коефицијент b1

Период π/b: 3,142
Прва асимптота тангенса: 1,571

Између две суседне асимптоте тангенс расте кроз све реалне бројеве, а котангенс опада. Повећајте

b

: асимптоте се приближавају, а период

\frac{\pi}{b}

се смањује. Ознаке на оси

x

су умношци

\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57

.

Тангенс повезује угао и висину: геометри из угла под којим виде врх зграде и растојања до ње рачунају висину $h = d\operatorname{tg}\alpha$ , а по истој формули се помера светла мрља рефлектора на зиду.

Рефлектор и зид

Рефлектор стоји на земљи, 20 m од високог зида спортске хале, и светли ка зиду под углом $\alpha$ према тлу. Светла мрља је тада на висини $h = 20\operatorname{tg}\alpha$ (у метрима). Израчунајте висину мрље за $\alpha = 30^\circ$ , $45^\circ$ и $60^\circ$ и објасните шта се дешава кад се угао приближава $90^\circ$ .

Решење

$h(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt 3}{3} \approx 11{,}55$ m.
$h(45^\circ) = 20 \cdot 1 = 20$ m, а $h(60^\circ) = 20\sqrt 3 \approx 34{,}64$ m. Углови расту за по $15^\circ$ , а висина све брже.
За $\alpha = 80^\circ$ мрља би била на око 113 m, а за $85^\circ$ на око 229 m: тангенс неограничено расте.
За $\alpha = 90^\circ$ сноп је паралелан са зидом и мрље нема. Права $x = \frac{\pi}{2}$ , односно $90^\circ$ , вертикална је асимптота графика тангенса.

Одговор: Мрља је на око 11,55 m, 20 m и 34,64 m, а кад угао тежи $90^\circ$ , њена висина неограничено расте.

Задатак за вежбу

Одредите период, нуле и вертикалне асимптоте функције $y = \operatorname{tg} 2x$ .

Прикажи решење

Период је $\frac{\pi}{2}$ . Нуле: $2x = k\pi$ , па $x = \frac{k\pi}{2}$ . Асимптоте: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , па $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ , $k \in \mathbb{Z}$ .