Тригонометријске једначине 2

Тригонометријске једначине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити тригонометријску једначину.

Пр.6) $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

Пр.7) $\sin x + \cos x - 1 + \sin x\cos x$

Пр.8) $t{g^2}x = \frac{1}{3}$

Пр.6) $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\begin{aligned}&\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \\ &\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \\ &2\cos \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{2}\sin \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{2} = 0 \\ &2\cos \frac{{4x + \frac{{7\pi }}{{12}}}}{2}\sin \frac{{\frac{\pi }{{12}}}}{2} = 0 \\ &2\cos \left( {2x + \frac{{7\pi }}{{24}}} \right)\sin \frac{\pi }{{24}} = 0 \\ &\cos \left( {2x + \frac{{7\pi }}{{24}}} \right) = 0 \\ &2x + \frac{{7\pi }}{{24}} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \\ &2x = \frac{\pi }{2} - \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \\ &2x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\left| {:2} \right. \\ &x = \frac{{5\pi }}{{48}} + \frac{{\pi k}}{2},k \in \mathbb{Z}\end{aligned}$

Пр.7) $\sin x + \cos x = 1 + \sin x\cos x$

$\begin{aligned}&\sin x + \cos x = 1 + \sin x\cos x \\ &\sin x + \cos x - 1 - \sin x\cos x = 0 \\ &\sin x\left( {1 - \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right) = 0 \\ &\left( {1 - \cos x} \right)\left( {\sin x - 1} \right) = 0 \\ &1 - \cos x = 0 \\ &\cos x = 1 \\ &x = 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} \\ &\sin x - 1 = 0 \\ &\sin x = 1 \\ &x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{aligned}$

Пр.8)

$t{g^2}x = \frac{1}{3}$

$t{g^2}x - \frac{1}{3} = 0$

$t{g^2}x - {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 0$

$\left( {tgx - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\left( {tgx + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 0$

$tgx - \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 0$	$\cup$	$tgx + \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 0$
$tgx = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$		$tgx = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
$tgx = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$		$tgx = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
$x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$		$x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Сложеније тригонометријске једначине своде се на основне. Једначину облика $\sin A = \sin B$ пребаците на једну страну и разлику претворите у производ: $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A + B}{2}\sin\frac{A - B}{2}$ . Производ је нула кад је нула бар један чинилац, па добијате основне једначине. Исто радите кад се израз раставља извлачењем заједничког чиниоца, као у $(1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0$ . Једначину $\operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{3}$ решавате као разлику квадрата: $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt 3}{3}$ или $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt 3}{3}$ .

На крају сва решења запишите са $k \in \mathbb{Z}$ и проверите да се нека фамилија не садржи у другој. Честа грешка је делити обе стране изразом као што је $1 - \cos x$ : тако се губе решења за која је тај израз нула.

Размак кабина s60°

Први пресек x₁: 1,047
Други пресек x₂: 4,189
Синус у x₁: 0,866

Плава крива је кабина

B

, а љубичаста кабина

A

, која је за угао

s

испред ње. Криве се секу у

x = \frac{\pi}{2} - \frac{s}{2} + k\pi

, са

s

у радијанима: тада су кабине симетричне у односу на усправни пречник точка. За

s = 60^\circ

први пресек је у

x = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05

.

Једначина $\sin A = \sin B$ јавља се кад се упоређују два кретања са истим периодом, као кабине на панорамском точку, кракови елисе или два звучна таласа, и тражи тренутак кад имају исту вредност.

Две кабине на точку

Панорамски точак има полупречник 15 m, центар му је на висини од 17 m, а пун круг прави за 8 минута. Кабина $A$ је шестину круга, односно $60^\circ$ , испред кабине $B$ . Висине кабина после $t$ минута су $h_A = 17 + 15\sin\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right)$ и $h_B = 17 + 15\sin\frac{\pi t}{4}$ . У којим тренуцима током првог круга су кабине на истој висини?

Решење

Изједначавамо висине: $\sin\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\frac{\pi t}{4} = 0$ .
Разлику синуса претварамо у производ: $2\cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6} = 0$ . Пошто је $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \neq 0$ , мора бити $\cos\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = 0$ .
Косинус је нула за $\frac{\pi}{2} + k\pi$ : $\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , па је $\frac{\pi t}{4} = \frac{\pi}{3} + k\pi$ и $t = \frac{4}{3} + 4k$ .
У првом кругу, $0 \le t < 8$ , то су $t = \frac{4}{3}$ min и $t = \frac{16}{3}$ min. Висине су тада $17 + 15 \cdot \frac{\sqrt 3}{2} \approx 30{,}0$ m и $17 - 15 \cdot \frac{\sqrt 3}{2} \approx 4{,}0$ m.

Одговор: Кабине су на истој висини после 1 min 20 s, на око 30 m, и после 5 min 20 s, на око 4 m.

Задатак за вежбу

Решите једначину $\sin 3x = \sin x$ .

Прикажи решење

$\sin 3x - \sin x = 2\cos 2x\sin x = 0$ . Из $\sin x = 0$ следи $x = k\pi$ , а из $\cos 2x = 0$ следи $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , односно $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ , $k \in \mathbb{Z}$ .