Квадратне једначине – решења 3

Потпуне квадратне једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Решити следећу једначину.

${\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {20 + 4x} \right)^2} = {\left( {x + 15} \right)^2}$

Пр.2 Решити следећу једначину.

$\frac{{2x - 3}}{{24{x^2} + 36x}} + \frac{2}{{4{x^2} - 9}} = \frac{{4 - x}}{{12{x^2} - 18x}}$

Пр.1

$\begin{aligned}&{\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {20 + 4x} \right)^2} = {\left( {x + 15} \right)^2} \\ &9 - 6x + {x^2} + 400 + 160x + 16{x^2} = {x^2} + 30x + 255 \\ &9 - 6x + {x^2} + 400 + 160x + 16{x^2} - {x^2} - 30x - 255 = 0 \\ &\left. {16{x^2} + 124x + 184 = 0} \right| \div 4 \\ &4{x^2} + 31x + 46 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 31 \pm \sqrt {961 - 4 \cdot 4 \cdot 46} }}{{2 \cdot 4}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 31 \pm \sqrt {961 - 736} }}{8} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 31 \pm 15}}{8} \\ &{x_1} = - \frac{{46}}{8} = - \frac{{23}}{4} \\ &{x_2} = - \frac{{16}}{8} = - 2\end{aligned}$

Пр.2

$\begin{aligned}&\frac{{2x - 3}}{{24{x^2} + 36x}} + \frac{2}{{4{x^2} - 9}} = \frac{{4 - x}}{{12{x^2} - 18x}} \\ &\left. {\frac{{2x - 3}}{{12x\left( {2x + 3} \right)}} + \frac{2}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}} = \frac{{4 - x}}{{6x\left( {2x - 3} \right)}}} \right|x \ne 0,x \ne \frac{3}{2},x \ne \frac{3}{2} \\ &{\left( {2x - 3} \right)^2} + 2 \cdot 12x = \left( {4 - x} \right) \cdot 2 \cdot \left( {2x + 3} \right) \\ &{\left( {2x - 3} \right)^2} + 24x = \left( {4 - x} \right) \cdot 2 \cdot \left( {2x + 3} \right) \\ &4{x^2} - 12x + 9 + 24x = 2\left( {8x + 12 - 2{x^2} - 3x} \right) \\ &4{x^2} - 12x + 9 + 24x = 16x + 24 - 4{x^2} - 6x \\ &4{x^2} - 12x + 9 + 24x - 16x - 24 + 4{x^2} + 6x = 0 \\ &8{x^2} + 2x - 15 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 - 4 \cdot 8 \cdot \left( { - 15} \right)} }}{{2 \cdot 8}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 + 480} }}{{16}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm 22}}{{16}} \\ &{x_1} = \frac{{ - 2 - 22}}{{16}} = \frac{{ - 24}}{{16}} = - \frac{3}{2} \\ &{x_2} = \frac{{ - 2 + 22}}{{16}} = \frac{{20}}{{16}} = \frac{5}{4}\end{aligned}$

Рекли смо да $x \ne \frac{-3}{2},$ онда прво решење не прихватамо, а друго решење прихватамо.

Кад једначина није у облику $ax^2 + bx + c = 0$ , прво је сведите на њега. Квадрате бинома развијте по формулама $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ , све чланове пребаците на леву страну, саберите сличне и, ако може, поделите заједничким чиниоцем. Тек онда примените формулу за решења.

Код једначина са разломцима прво раставите имениоце на чиниоце и напишите услове: ниједан именилац не сме бити нула. Затим целу једначину помножите најмањим заједничким имениоцем. Решење које не испуњава услов одбаците: ако је услов $x \ne -\frac{3}{2}$ , а формула да $x = -\frac{3}{2}$ , то није решење. Код текстуалних задатака одбаците и решења без смисла, као негативну дужину. Свако решење проверите заменом у почетну једначину.

x3

x² + (x + 17)²: 409
(x + 18)²: 441
Разлика f(x): −32

Кад све пребаците на леву страну, добијате функцију

f(x) = x^2 + (x + 17)^2 - (x + 18)^2 = x^2 - 2x - 35

. Решења једначине су нуле те функције,

x = -5

и

x = 7

; као дужина има смисла само

x = 7

, где су лева и десна страна једнаке (625).

Грађевинари, столари и монтери постављају овакве једначине кад из Питагорине теореме траже непознату дужину, на пример растојање мердевина од зида или висину до које досежу.

Мердевине уз зид

Мердевине су наслоњене на зид. Врх мердевина је на висини која је за 17 dm већа од растојања подножја од зида, а мердевине су за 18 dm дуже од тог растојања. Колико је подножје удаљено од зида и колико су дугачке мердевине?

Решење

Нека је $x$ растојање подножја од зида у dm. По Питагориној теореми: $x^2 + (x + 17)^2 = (x + 18)^2$ .
Развијамо квадрате: $x^2 + x^2 + 34x + 289 = x^2 + 36x + 324$ .
Пребацујемо све на леву страну и сабирамо сличне чланове: $x^2 - 2x - 35 = 0$ .
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2} = \frac{2 \pm 12}{2}$ , па је $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$ . Дужина не може бити негативна, остаје $x = 7$ .
Висина врха је $7 + 17 = 24$ dm, а мердевине $7 + 18 = 25$ dm. Провера: $49 + 576 = 625 = 25^2$ .

Одговор: Подножје је 0,7 m од зида, врх мердевина је на висини 2,4 m, а мердевине су дугачке 2,5 m.

Задатак за вежбу

Решите једначину $\frac{x}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} = \frac{8}{x^2 - 4}$ .

Прикажи решење

Услови: $x \ne 2$ и $x \ne -2$ . Множењем са $(x - 2)(x + 2)$ : $x(x + 2) + 3(x - 2) = 8$ , тј. $x^2 + 5x - 14 = 0$ , па $x = 2$ или $x = -7$ . Због услова $x = 2$ отпада, решење је $x = -7$ .